Exercício 2.34. Mostre que para todo x 2 [�1; 1], arcsenx+ arcosx = � 2 :

Para resolver essa questão, podemos utilizar a identidade trigonométrica: arcsen(x) + arccos(x) = π/2 Substituindo x por x/2, temos: arcsen(x/2) + arccos(x/2) = π/2 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 2arcsen(x/2) + 2arccos(x/2) = π Subtraindo arccos(x/2) de ambos os lados, temos: 2arcsen(x/2) = π - 2arccos(x/2) Aplicando a identidade trigonométrica cos²(x) + sen²(x) = 1, temos: sen²(x) = 1 - cos²(x) sen(x) = √(1 - cos²(x)) Substituindo x/2 por x, temos: sen(x) = √(1 - cos²(x/2)) cos(x/2) = √(1 - sen²(x/2)) Substituindo as expressões acima na equação anterior, temos: 2arcsen(x/2) = π - 2arccos(√(1 - sen²(x/2))) Aplicando a identidade trigonométrica arcsen(x) + arccos(x) = π/2 novamente, temos: arcsen(x/2) + arccos(√(1 - sen²(x/2))) = π/4 Substituindo x por 1, temos: arcsen(1/2) + arccos(√(1 - sen²(1/2))) = π/4 π/6 + arccos(√(1 - sen²(1/2))) = π/4 arccos(√(1 - sen²(1/2))) = π/12 cos(arccos(√(1 - sen²(1/2)))) = cos(π/12) √(1 - sen²(1/2)) = cos(π/12) 1 - sen²(1/2) = cos²(π/12) sen²(1/2) = 1 - cos²(π/12) sen(1/2) = √(1 - cos²(π/12)) Substituindo x por 1/2, temos: arcsen(1/2) + arccos(√(1 - cos²(π/12))) = π/4 π/6 + arccos(√(1 - cos²(π/12))) = π/4 arccos(√(1 - cos²(π/12))) = π/12 cos(arccos(√(1 - cos²(π/12)))) = cos(π/12) √(1 - cos²(π/12)) = cos(π/12) cos(π/12) + cos(π/12) = 2cos(π/12) = √6 + √2 Portanto, temos que: arcsen(x) + arccos(x) = π/2 arcsen(x/2) + arccos(√(1 - sen²(x/2))) = π/4 2arcsen(x/2) = π - 2arccos(√(1 - sen²(x/2))) arccos(√(1 - cos²(π/12))) = π/12 cos(π/12) + cos(π/12) = 2cos(π/12) = √6 + √2 Logo, podemos concluir que: arcsen(x) + arccos(x) = -π/2