Exercício 6.11. Fixe � > 0. Considere f�(x):=� �2e��(�2 � x2). Esboce x 7! f�(x) para diferentes valores de � (em particular para � pequeno e gran...

Para esboçar o gráfico de f(x), podemos começar analisando o comportamento da função para diferentes valores de x e de λ. Quando x = 0, temos que f(0) = 2λ. Quando x se aproxima de ±√2, f(x) se aproxima de zero. Isso ocorre porque o termo e^(-λx^2) se aproxima de zero quando x se aproxima de ±√2. Para valores pequenos de λ, a função f(x) é mais "espremida" em torno do eixo x, ou seja, é mais "pontuda". Para valores grandes de λ, a função é mais "achatada", ou seja, tem uma base mais larga. Para encontrar o valor de λ que maximiza a área delimitada pelo gráfico de f(x) e pelo eixo x, podemos usar cálculo diferencial. A área é dada por: A = ∫[-√2, √2] f(x) dx Podemos calcular a derivada da área em relação a λ e igualá-la a zero para encontrar o valor de λ que maximiza a área: dA/dλ = ∫[-√2, √2] -2x^2 e^(-λx^2) dx = 0 Integrando por partes, obtemos: dA/dλ = ∫[-√2, √2] -x d/dλ(e^(-λx^2)) dx = ∫[-√2, √2] x^3 e^(-λx^2) dx Podemos resolver essa integral usando substituição trigonométrica: x^3 e^(-λx^2) = (1/2λ) d/dθ(e^(-θ)) = -(1/2λ) e^(-θ) onde θ = λx^2/2. Substituindo na integral, temos: dA/dλ = -∫[-√2, √2] e^(-θ) dθ = -[e^(-λx^2/2)]_[-√2, √2] = 2e^(-λ) Igualando a derivada a zero, temos: dA/dλ = 2e^(-λ) = 0 Portanto, o valor de λ que maximiza a área é λ = 0. Para λ = 0, temos que f(x) = 2 para todo x, ou seja, a área delimitada pelo gráfico de f(x) e pelo eixo x é simplesmente um retângulo de base 2√2 e altura 2.