Determine o valor da integral ∫ ( 2 s e c 2 y + 3 1 + y 2 + 2 y ) d y 2 cos y+3 arsen y+y+k, k real 2tg y+3 arctg y+y+k, k real 2 seny...

Para resolver a integral ∫ (2sec²y + 3/(1+y²) + 2y)dy, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazendo a substituição y = arctan(u), temos que dy = du/(1+u²) e sec²y = 1/(cos²y) = 1/(1+tan²y) = 1/(1+u²). Substituindo na integral, temos: ∫ (2sec²y + 3/(1+y²) + 2y)dy = ∫ (2/(1+u²) + 3/(1+tan²y) + 2arctan(u))du/(1+u²) Simplificando a expressão, temos: ∫ (2/(1+u²) + 3cos²y/(cos²y+sen²y) + 2arctan(u))du/(1+u²) ∫ (2/(1+u²) + 3cos²y/1 + 2sen²y + 2arctan(u))du/(1+u²) Fazendo a substituição sen²y = (1-cos²y), temos: ∫ (2/(1+u²) + 3cos²y/1 + 2(1-cos²y) + 2arctan(u))du/(1+u²) ∫ (2/(1+u²) + 3(1-cos²y)/(1+cos²y) + 2arctan(u))du/(1+u²) Fazendo a substituição cos(y) = u/(sqrt(1+u²)), temos: ∫ (2/(1+u²) + 3(1-u²/(1+u²))/(1+u²/(1+u²)) + 2arctan(u))du/(1+u²) ∫ (2/(1+u²) + 3(1-u²)/(1+2u²) + 2arctan(u))du/(1+u²) Resolvendo a integral, temos: 2arctan(u) + 3/2 ln(1+2u²) + 2 ln(1+u²) + C Substituindo as expressões trigonométricas de volta, temos: 2arctan(tan(y)) + 3/2 ln(1+2tan²(y)) + 2 ln(sec(y)+tan(y)) + C Portanto, esse é o valor da integral.