Ache uma reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e que forma ângulos de 45o e 60o com os eixos x e y, respectivamente.

Para encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e forma ângulos de 45° e 60° com os eixos x e y, respectivamente, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre o vetor diretor da reta: O vetor diretor da reta é paralelo à reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e pela origem (0, 0, 0). Portanto, podemos encontrar o vetor diretor subtraindo as coordenadas do ponto (1, 2, 3) pelas coordenadas da origem, ou seja: v = (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3) 2. Encontre um vetor perpendicular à reta e paralelo ao plano xy: Um vetor perpendicular à reta é dado pelo produto vetorial entre o vetor diretor v e o vetor unitário k que aponta para a direção positiva do eixo z: u = v x k = (1, 2, 3) x (0, 0, 1) = (-2, 1, 0) Para encontrar um vetor paralelo ao plano xy, podemos simplesmente zerar a componente z do vetor u: w = (-2, 1, 0) 3. Encontre um vetor perpendicular aos vetores v e w: Um vetor perpendicular aos vetores v e w é dado pelo produto vetorial entre esses dois vetores: t = v x w = (1, 2, 3) x (-2, 1, 0) = (-2, -6, 5) 4. Encontre a equação da reta: A equação da reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e tem vetor diretor v é dada por: r(t) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 3) = (1 + t, 2 + 2t, 3 + 3t) Para que essa reta forme um ângulo de 45° com o eixo x, o vetor diretor v deve formar um ângulo de 45° com o vetor i que aponta para a direção positiva do eixo x. Como o ângulo entre dois vetores é dado pelo cosseno do ângulo entre suas direções, temos: cos(45°) = (v . i) / (|v| |i|) cos(45°) = (1, 2, 3) . (1, 0, 0) / (|v| |i|) cos(45°) = 1 / sqrt(2) |v| = sqrt(14) Portanto, o vetor diretor v deve ter norma igual a sqrt(14). Como já encontramos o vetor diretor v = (1, 2, 3), podemos verificar que sua norma é de fato igual a sqrt(14). Para que essa reta forme um ângulo de 60° com o eixo y, o vetor diretor v deve formar um ângulo de 30° com o vetor j que aponta para a direção positiva do eixo y. Como o ângulo entre dois vetores é dado pelo cosseno do ângulo entre suas direções, temos: cos(60°) = (v . j) / (|v| |j|) cos(60°) = (1, 2, 3) . (0, 1, 0) / (|v| |j|) cos(60°) = 2 / sqrt(14) |v| = sqrt(28) Isso contradiz o resultado anterior, portanto não é possível encontrar uma reta que satisfaça as condições dadas.