A interseção de um elipsóide com o plano z = 0 é uma elipse de equação x 2 + y 2 4 = 1. Sabendo que o elipsóide contém os ponto (0, 1, √6), apresen...

O elipsóide pode ser escrito na forma geral como: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) = 1 Sabemos que a interseção com o plano z=0 é uma elipse de equação x^2 + y^2/4 = 1. Isso significa que a interseção ocorre quando z=0, então podemos substituir z=0 na equação do elipsóide: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 A partir do ponto (0, 1, √6), podemos concluir que b = √6, pois a interseção com o plano z=0 passa pelo ponto (0, 1). Substituindo b = √6 na equação da elipse, temos: x^2/a^2 + y^2/6 = 1 Agora, precisamos encontrar o valor de a. Podemos usar o fato de que o ponto (0, 1, √6) pertence ao elipsóide: (0^2/a^2) + (1^2/6) + (√6^2/c^2) = 1 Simplificando, temos: 1/a^2 + 6/c^2 = 1 Podemos reescrever c^2 em termos de a^2 usando a equação do elipsóide: c^2 = a^2(1 - b^2/a^2) Substituindo b = √6 e c^2 em termos de a^2 na equação acima, temos: a^4 - 6a^2 + 6 = 0 Resolvendo essa equação do quarto grau, encontramos duas soluções possíveis para a^2: a^2 = 3 + √3 ou a^2 = 3 - √3 Como a^2 deve ser positivo, a solução correta é a^2 = 3 + √3. Substituindo a^2 e b^2 na equação do elipsóide, temos a equação reduzida: x^2/(3+√3)^2 + y^2/6 + z^2/(3-√3)^2 = 1