Observe os triângulos retângulos ACB e ECD. Os ângulos  e Ê, assinalados na Figura abaixo, têm medidas iguais e maiores do que 45°. Se AB = DE = 3...

Podemos utilizar a relação trigonométrica tangente para resolver o problema. Temos que a tangente do ângulo  é igual a AC/BC e a tangente do ângulo Ê é igual a EC/DC. Como  e Ê têm medidas iguais, podemos igualar as duas expressões: AC/BC = EC/DC Substituindo os valores conhecidos, temos: 3/BC = 42/DC Multiplicando cruzado, temos: 3DC = 42BC Dividindo por 3 em ambos os lados, temos: DC = 14BC/3 Pelo teorema de Pitágoras, temos que: BC² + AC² = 30² Substituindo AC por 30/BC, temos: BC² + (30/BC)² = 900 Multiplicando por BC² em ambos os lados, temos: BC⁴ + 900 = 900BC² Isolando BC², temos: BC⁴ - 900BC² + 900 = 0 Podemos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja x = BC², temos: x² - 900x + 900 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = (900 ± √(900² - 4*900))/2 x = (900 ± 300)/2 x' = 600 e x" = 300 Como BC² não pode ser negativo, temos que BC² = 300. Substituindo na equação DC = 14BC/3, temos: DC = 14*√300/3 DC = 14*10/3 DC = 140/3 DC = 46,67 cm (aproximadamente) Por fim, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo ACD para encontrar o valor de DA: DA² = AC² + DC² DA² = (30/BC)² + (140/3)² DA² = (30/√300)² + (140/3)² DA² = 300/3 + 19600/9 DA² = 100 + 2178,88 DA² = 2278,88 DA ≈ 47,7 cm Portanto, a alternativa correta é a letra E) 18.