Vamos analisar a proposição e as alternativas apresentadas. A proposição afirma que, para \( n \geq 2 \), a desigualdade \( 2n + 1 > n^2 + 3 \) é verdadeira. A demonstração envolve um passo base (A), uma hipótese de indução (B) e a conclusão (C). 1. A: O passo base deve ser para \( n = 2 \), pois a proposição é válida para \( n \geq 2 \). 2. B: A hipótese de indução deve ser que a proposição é verdadeira para \( n = k - 1 \), ou seja, \( 2(k - 1) + 1 > (k - 1)^2 + 3 \). 3. C: A conclusão deve mostrar que a proposição é verdadeira para \( n = k \), ou seja, \( 2k + 1 > k^2 + 3 \). Agora, vamos analisar as alternativas: a. A = n = 2, B = \( 2k > (k-1)^2 + 3 \) e C = \( 2k + 1 > k^2 + 3 \). (B está incorreta, pois não é a forma correta da hipótese de indução) b. A = n = 2, B = \( 2k > (k-1)^2 + 3 \) e C = \( 2k + 1 > k^2 + 3 \). (B está incorreta, pela mesma razão) c. A = n = 1, B = \( 2k > (k-1)^2 + 3 \) e C = \( 2k + 1 > (k + 1)^2 + 3 \). (A está incorreta, pois o passo base deve ser para \( n = 2 \)) d. A = n = 1, B = \( 2 > k^2 + 3 \) e C = \( 2k + 1 > k^2 + 3 \). (A e B estão incorretas) e. A = n = 2, B = \( 2k > k^2 + 3 \) e C = \( 2k + 1 > k^2 + 3 \). (B está incorreta) Após analisar todas as alternativas, parece que nenhuma delas está correta em relação à proposição e à demonstração apresentada. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!