a d e s d e a p r o f u n d a m e n t o 1) O valor da expressão 10 10 10 10 3 5 4 − ⋅ ⋅ é: 2) Simplifique as expressões: 3) Mostre que 9 2 1 1 2 ...

1) O valor da expressão 10 10 10 10 3 5 4 − ⋅ ⋅ é: Para resolver essa expressão, primeiro precisamos calcular 10^10^10^10, que é um número extremamente grande. Em seguida, multiplicamos esse número por 3 e dividimos por 5^4. O resultado é um número muito próximo de zero. 2) Simplifique as expressões: Não há expressões para simplificar na pergunta. 3) Mostre que 9 2 1 1 2 433 3 3( )− = − + . Para resolver essa equação, primeiro precisamos elevar 9 ao quadrado, que é igual a 81. Em seguida, elevamos 2 a 433, que é um número extremamente grande. Depois, subtraímos 1 de 433, que é igual a 432. Por fim, elevamos 3 a 432 e a 3, e subtraímos o resultado do passo anterior. O resultado final é -6561. 4) Para que valores de k a equação a a a a k x x x x − − + − = , com a > 0 e a ¹ 1, admite raiz real? Para que a equação admita raiz real, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é igual a (1-k)^2 - 4a(1-k). Portanto, temos a seguinte inequação: (1-k)^2 - 4a(1-k) ≥ 0. Resolvendo essa inequação, obtemos k ≤ 1 - 2a ou k ≥ 1 + 2a. 5) (CEFET-PR) Cientistas de certo país, preocupados com a possibilidade cada vez mais ameaçadora de uma “guerra biológica”, pesquisam uma determinada bactéria, que cresce segundo a expressão P(t) = (256/125) * 5^(2t+1). Para obter-se uma população de 3.125 bactérias, será necessário um tempo, em horas, com valor absoluto no intervalo: Para resolver essa questão, precisamos igualar a expressão P(t) a 3125 e resolver para t. Temos: (256/125) * 5^(2t+1) = 3125. Simplificando, obtemos 5^(2t+1) = 5^5. Portanto, 2t+1 = 5 e t = 2. 6) (UNIFOR-CE) O número real x que é solução da equação 3 9 2 1 2 3 3 4 4 − ⋅ − ⋅ = − − x x é: Para resolver essa equação, precisamos simplificar a expressão do lado esquerdo. Temos: 3^(2x-1) * 9^(1-x) = 4^(3-x). Elevando 3 a ambos os lados, obtemos: 3^(2x-1) * 3^(2-2x) = 3^6 * 2^6. Simplificando, temos: 3^(3-x) = 2^6. Portanto, x = 3 - log2(3). 7) Seja log ,a 8 3 4 =− a>0. O valor da base é: Para resolver essa questão, precisamos lembrar das propriedades dos logaritmos. Temos: loga(8) - loga(3) = 4. Portanto, loga(8/3) = 4. Elevando a base a ambos os lados, obtemos: a^4 = 8/3. Portanto, a = (8/3)^(1/4). 8) Qual das sentenças abaixo é verdadeira para todos os números reais, a e b? Não há sentenças na pergunta. 9) Sejam a, b, c números reais estritamente positivos e distintos entre si, se log a, logb e log c são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então: Para resolver essa questão, precisamos lembrar das propriedades dos logaritmos. Temos: logb(a) - loga(a) = logc(b) - logb(b). Simplificando, obtemos: logb(a) - 1 = logc(b) - 1. Portanto, logb(a) = logc(b). Elevando b a ambos os lados, obtemos: a = c. 10) A igualdade 3 6 31 1− −⋅ =x x é verdadeira para x igual a: Para resolver essa equação, precisamos simplificar a expressão do lado esquerdo. Temos: (3/6)^(1-x) * 31 = x. Simplificando, obtemos: (1/2)^(1-x) * 31 = x. Elevando 2 a ambos os lados, obtemos: 31 * 2^(x-1) = x. Portanto, x = 5. 11) Seja p um número real maior que 1. Se log log3 2 1 3 5 1 p p ( ) = + , então log2 13p+( ) é igual a: Para resolver essa questão, precisamos simplificar a expressão log log3(2^(1+p)) + log3(5^(1+p)). Usando as propriedades dos logaritmos, podemos escrever essa expressão como: log log3(2) + log3(5) + (1+p) * log log3(2) + log3(5)). Simplificando, obtemos: log(2) * log(5) + (1+p) * log(2) * log(5) = log(13) + p * log(2) * log(5). Portanto, log2(13p) = log(13) + p * log(2) * log(5) - log(2) * log(5). 12) Sejam x e y números reais positivos. A igualdade log log logx y x y+( )= + é verdadeira se e somente se: Para resolver essa questão, precisamos simplificar a expressão do lado esquerdo. Temos: log(log(x/y)) + log(log(xy)) = log(log(x)) + log(log(y)). Elevando e a ambos os lados, obtemos: log(x/y) * log(xy) = log(x) * log(y). Simplificando, obtemos: log(x^2/y^2) = log(x) * log(y). Portanto, x^2/y^2 = x^log(y) * y^log(x). 13) A função f A B: ® é dada por f x x( )= −1/2. Não há pergunta na questão. 14) Seja a função f em reais definida por f x x( )= +2 4 5. Não há pergunta na questão.