Por qual número devo dividir 1 073, 609 e 378, se eu pretendo obter, respectivamente, os restos 11, 19 e 24? a) 122 b) 114 c) 116 d) 112 e) 118

Para encontrar o número que deve ser usado como divisor, podemos utilizar o Teorema Chinês do Resto. Primeiro, vamos encontrar o valor de x que satisfaz o sistema de congruências: x ≡ 11 (mod n) x ≡ 19 (mod n) x ≡ 24 (mod n) Podemos usar o método de substituição para resolver o sistema: x ≡ 11 (mod n) x ≡ 19 (mod n) ⇒ 19 ≡ 11 + k1n x ≡ 24 (mod n) ⇒ 24 ≡ 11 + k2n Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: 8 ≡ k1n (mod n) Subtraindo a primeira equação da terceira, temos: 13 ≡ k2n (mod n) Como k1n ≡ 8 (mod n) e k2n ≡ 13 (mod n), podemos concluir que n é um divisor comum de 8 e 13. O único divisor comum de 8 e 13 é 1, portanto n = 1. Assim, o número que deve ser usado como divisor é a soma dos restos menos o número de congruências vezes o valor de n, ou seja: número de congruências = 3 divisor = 11 + 19 + 24 - 3n = 54 - 3 = 51 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 118.