b) Determine todos os números primos p ∈ N que se escrevem ao mesmo tempo como soma de dois primos e como diferença de dois primos. Se p é um nú...

A resposta correta é: não existem números primos que possam ser escritos ao mesmo tempo como soma de dois primos e como diferença de dois primos. A demonstração foi feita no enunciado da questão, mostrando que se p é um número primo que pode ser escrito como soma de dois primos, então p é ímpar e se p é um número primo que pode ser escrito como diferença de dois primos, então p é ímpar. Logo, p é um número primo ímpar. Seja p = 2n + 1. Se p pode ser escrito como soma de dois primos, então existem primos q e r tais que p = q + r. Logo, 2n + 1 = q + r. Se p pode ser escrito como diferença de dois primos, então existem primos q e r tais que p = q - r ou p = r - q. Logo, 2n + 1 = q - r ou 2n + 1 = r - q. Somando as duas equações, temos 4n + 2 = 2(q + r). Logo, 2n + 1 = q + r é par. Isso é uma contradição, pois p é ímpar. Portanto, não existem números primos que possam ser escritos ao mesmo tempo como soma de dois primos e como diferença de dois primos.