PROVAS DO PROFMAT Mestrado Profissional em Matemática em Rede

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APOSTILA 
AVALIAÇÕES 
PROFMAT 
MA11 
MA12 
MA13 
MA14 
2011-2014 
MA11
AVALIAÇÕES
MA11
2011-2013 
MA11 
- 
2011
MA11 — Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – Prova 1 – 2011
Questa˜o 1.
Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de a´gua pota´vel
permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de a´gua por dia (e e´ o que os tripulantes fazem). Apo´s 12 dias de viagem,
o barco encontra 3 na´ufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:
(1.0) (a) Quantos litros de a´gua por dia cabera˜o agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?
(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de a´gua cada um, em quantos dias, no ma´ximo,
sera´ necessa´rio encontrar uma ilha onde haja a´gua?
Questa˜o 2.
(1.0) (a) Quais sa˜o os valores de y para os quais existe uma func¸a˜o quadra´tica f : R → R tal que f(1) = 3, f(2) = 5 e
f(3) = y?
(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a func¸a˜o quadra´tica correspondente. Justifique seus argumentos.
Questa˜o 3.
(1.0) (a) Seja f : A→ B uma func¸a˜o. Deˆ as definic¸o˜es de f(X) e f−1(Y ), para X ⊂ A e Y ⊂ B. Se f : R→ R e´ dada
por f(x) = 2x2 + 3x+ 4, determine os conjuntos f(R) e f−1(3).
(1.0) (b) Seja f : A → B uma func¸a˜o. Prove que f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ), quaisquer que sejam X,Y ⊂ A. Deˆ um
exemplo em que f(X ∩ Y ) 6= f(X) ∩ f(Y ).
Questa˜o 4.
(0.5) (a) Se r 6= 0 e´ um nu´mero racional, prove que r√2 e´ irracional.
(0.5) (b) Dado qualquer nu´mero real ǫ > 0, prove que existe um nu´mero irracional α tal que 0 < α < ǫ.
(1.0) (c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, conte´m algum nu´mero irracional.
Questa˜o 5.
Sejam m e n nu´meros naturais primos entre si.
(1.0) (a) Mostre que m
n
e´ equivalente a uma frac¸a˜o decimal (isto e´, com denominador poteˆncia de 10) se, e somente se,
n na˜o tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.
(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos ale´m de 2 ou 5 enta˜o a expansa˜o decimal e´ infinita e, a partir de
um certo ponto, perio´dica.
PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011
Questa˜o 1.
Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de a´gua pota´vel
permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de a´gua por dia (e e´ o que os tripulantes fazem). Apo´s 12 dias de viagem,
o barco encontra 3 na´ufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:
(1.0) (a) Quantos litros de a´gua por dia cabera˜o agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?
(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de a´gua cada um, em quantos dias, no ma´ximo,
sera´ necessa´rio encontrar uma ilha onde haja a´gua?
UMA RESPOSTA
Uma soluc¸a˜o concisa e´ a seguinte:
(a) O nu´mero de pessoas aumentou em 10
7
. Portanto a a´gua dispon´ıvel para cada um deve ser 7
10
do que era antes
(3,5 litros), isto e´, 49
20
= 2, 45 litros.
(b) As 7 pessoas teriam a´gua pelos 30 dias restantes, mas agora ha´ 10
7
vezes o nu´mero anterior de pessoas. Isso reduz
os dias a 7
10
· 30 = 21.
Outra forma de pensar e´ a seguinte. Primeiro calcula-se a quantidade Q de a´gua que resta apo´s 12 dias. Como
restam 30 dias de viagem, com 7 pessoas consumindo 3,5 litros por dia, sa˜o Q = 30×7×3, 5 litros (como a quantidade
de a´gua e´ justa para os 42 dias e os primeiros 12 dias transcorreram como previsto, conclui-se que o que resta para
os outros 30 dias tambe´m e´ justo).
(a) Esse total deve ser consumido nos mesmos 30 dias, mas agora por 10 pessoas. Enta˜o o consumo dia´rio de cada
um e´ Q dividido por 30× 10, que da´ 7
10
× 3, 5 = 2, 45 litros.
(b) Se todos consumirem 3,5 litros por dia, a cada dia transcorrido apo´s o de´cimo segundo dia sera˜o consumidos 35
litros. Portanto, apo´s n dias restara˜o Q− 35n litros. Queremos saber o maior n tal que Q− 35n ≥ 0, isto e´, o maior
n que seja menor ou igual a Q
35
. Mas Q
35
= 30 × 7
10
= 21, enta˜o em 21 dias (exatamente) se esgotara´ o reservato´rio
de a´gua.
1
PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011
Questa˜o 2.
(1.0) (a) Quais sa˜o os valores de y para os quais existe uma func¸a˜o quadra´tica f : R → R tal que f(1) = 3, f(2) = 5 e
f(3) = y?
(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a func¸a˜o quadra´tica correspondente. Justifique seus argumentos.
UMA RESPOSTA
(a) Para que exista uma func¸a˜o quadra´tica f : R→ R tal que f(1) = 3, f(2) = 5 e f(3) = y e´ necessa´rio e suficiente
que os pontos (1, 3), (2, 5) e (3, y) na˜o sejam colineares, isto e´, que 5−3
2−1 6= y−53−2 , ou seja, que y − 5 6= 2, ou ainda,
y 6= 7.
(b) Para obter os coeficientes a, b, c da func¸a˜o f(x) = ax2 + bx+ c, deve-se resolver o sistema (nas inco´gnitas a, b, c)

a+ b+ c = 3
4a+ 2b+ c = 5
9a+ 3b+ c = 9
Isto e´ feito de modo simples: basta subtrair a primeira equac¸a˜o das duas seguintes. Tem-se{
3a+ b = 2
8a+ 2b = 6
Por subtrac¸a˜o (segunda menos duas vezes a primeira), ficamos com 2a = 2, de onde sai imediatamente a = 1.
Substituindo esse valor em 3a+ b = 2, obtemos b = −1, e voltando a` equac¸a˜o a+ b+ c = 3 obtemos c = 3. Portanto
x2 − x+ 3 e´ a func¸a˜o quadra´tica procurada.
Comenta´rio: Ha´ diversas outras formas de se resolver o problema. Por exemplo: tome primeiro a func¸a˜o g(x) = 1+2x,
que e´ a func¸a˜o afim tal que g(1) = 3 e g(2) = 5. Observe que f(x) = g(x) + a(x− 1)(x− 2) e´ uma func¸a˜o quadra´tica
que assume os mesmos valores que g nos pontos x = 1 e x = 2. Enta˜o basta achar a que fac¸a f(3) = y. Ora,
f(3) = 1 + 2 · 3 + a(3− 1)(3− 2) = 7 + 2a .
Enta˜o 7 + 2a = y e, portanto, a = y−7
2
. Por conseguinte,
f(x) = 1 + 2x+
y − 7
2
(x− 1)(x− 2)
responde o problema para qualquer y. Em particular, para y = 9,
f(x) = 1 + 2x+ (x− 1)(x− 2) = x2 − x+ 3 .
2
PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011
Questa˜o 3.
(1.0) (a) Seja f : A→ B uma func¸a˜o. Deˆ as definic¸o˜es de f(X) e f−1(Y ), para X ⊂ A e Y ⊂ B. Se f : R→ R e´ dada
por f(x) = 2x2 + 3x+ 4, determine os conjuntos f(R) e f−1(3).
(1.0) (b) Seja f : A → B uma func¸a˜o. Prove que f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ), quaisquer que sejam X,Y ⊂ A. Deˆ um
exemplo em que f(X ∩ Y ) 6= f(X) ∩ f(Y ).
UMA RESPOSTA
(a) Definic¸a˜o da imagem de um subconjunto X de A:
f(X) = {y ∈ B; f(x) = y para algum x ∈ X} .
Definic¸a˜o da pre´-imagem de um subconjunto Y de B:
f−1(Y ) = {x ∈ A; f(x) ∈ Y } .
Agora consideremos a func¸a˜o f : R→ R tal que f(x) = 2x2+3x+4. Como o coeficiente de x2 e´ positivo, a func¸a˜o
quadra´tica assume seu valor mı´nimo f(− 3
4
) = 23
8
para x = − b
2a
= − 3
4
. Assim, f(x) ≥ 23
8
para todo x ∈ R, ou seja,
f(R) ⊂ [ 23
8
,+∞). Ale´m disso, para todo y ≥ 23
8
, a equac¸a˜o f(x) = y, ou seja, 2x2 + 3x + 4 = y, que equivale a
2x2+3x+4− y = 0, tem discriminante ∆ = 9−32+8y ≥ −23+23 = 0, logo existe(m) valor(es) de x com f(x) = y.
Assim f(R) = [ 23
8
,+∞).
f−1(3) e´ o conjunto dos pontos x tais que f(x) = 3, isto e´, tais que 2x2+3x+4 = 3. Enta˜o e´ o conjunto das soluc¸o˜es
de 2x2 + 3x+ 1 = 0, que e´ igual a {−1,− 1
2
}.
Comenta´rio: f−1(3) e´ um abuso de linguagem amplamente aceito para designar f−1({3}).
(b) z ∈ f(X ∪Y ) se, e somente se, existe w ∈ X ∪Y tal que f(w) = z, que por sua vez ocorre se, e somente se, existe
x ∈ X tal que f(x) = z ou existe y ∈ Y tal que f(y) = z, que ocorre se, e somente se, z ∈ f(X) ou z ∈ f(Y ), que
ocorre se, e somente se, z ∈ f(X) ∪ f(Y ).
Tome f : R→ R com f(x) = x2, X = [−1, 0] e Y = [0, 1]. Neste caso, X ∩ Y = {0} e f(X) = f(Y ) = [0, 1]. Logo
f(X ∩ Y ) = {f(0)} = {0} e f(X) ∩ f(Y ) = [0, 1].
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PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011
Questa˜o 4.
(0.5) (a) Se r 6= 0 e´ um nu´mero racional, prove que r√2 e´ irracional.
(0.5) (b) Dado qualquer nu´mero real ǫ > 0, prove que existe um nu´mero irracional α tal que 0 < α < ǫ.
(1.0) (c) Mostre que todointervalo [a, b], com a < b, conte´m algum nu´mero irracional.
UMA RESPOSTA
(a) Se r
√
2 e´ racional, enta˜o r
√
2 = p
q
, para p, q ∈ Z, q 6= 0. Como r 6= 0, podemos dividir por r para obter √2 = p
rq
,
de que resulta
√
2 racional, contradic¸a˜o.
(b) Escolha n um nu´mero natural maior do que
√
2
ǫ
. Enta˜o α =
√
2
n
e´ positivo, irracional (pelo item (a)) e
α =
√
2
n
<
√
2√
2/ǫ
= ǫ .
(c) Se a ou b for irracional, na˜o ha´ o que provar. Se a for racional, subtraindo a de todos os nu´meros do intervalo
[a, b], ficamos com o intervalo [0, b− a]. Tomando ǫ igual a b− a no item (b), obtemos o irracional α menor do que
b− a e maior do que zero. Enta˜o a+ α e´ irracional (se na˜o fosse, enta˜o α seria a soma de dois racionais e, portanto,
um racional, contradizendo (b)) e pertence ao intervalo [a, b].
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PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011
Questa˜o 5.
Sejam m e n nu´meros naturais primos entre si.
(1.0) (a) Mostre que m
n
e´ equivalente a uma frac¸a˜o decimal (isto e´, com denominador poteˆncia de 10) se, e somente se,
n na˜o tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.
(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos ale´m de 2 ou 5 enta˜o a expansa˜o decimal e´ infinita e, a partir de
um certo ponto, perio´dica.
UMA RESPOSTA
(a) Sendo m e n primos entre si, uma frac¸a˜o equivalente a m
n
deve ter a forma mp
np
(obtida multiplicando-se m e n
pelo mesmo nu´mero natural p).
Os fatores primos de uma poteˆncia de 10 sa˜o 2 e 5. Se mp
np
e´ frac¸a˜o decimal para algum p enta˜o np = 10r. Logo,
np so´ admite fatores primos iguais a 2 ou 5, e, portanto, n tambe´m.
Reciprocamente, se n possui apenas fatores primos iguais a 2 ou 5, enta˜o podemos multiplicar n por p de forma
que o resultado seja uma poteˆncia de 10 (p pode ser ou uma poteˆncia de 2 ou uma poteˆncia de 5). Com esse p, mp
np
e´ uma frac¸a˜o decimal.
(b) Usando o processo tradicional da divisa˜o continuada para transformar m
n
em frac¸a˜o decimal, como ha´ fatores
de n diferentes de 2 ou 5, em nenhuma etapa o resto da divisa˜o e´ zero, logo a expansa˜o nunca termina, ou seja, e´
infinita. Ale´m disso, os diferentes restos (diferentes de zero) que ocorrem sa˜o todos menores do que n, portanto o
nu´mero deles e´ no ma´ximo n− 1. Assim, algum resto deve repetir-se e, a partir da´ı, o processo se repete: os restos
se sucedem na mesma ordem anterior e, portanto, os quocientes tambe´m, o que fornece a periodicidade (observe que
o per´ıodo tem, no ma´ximo, n− 1 nu´meros).
5
MA11 — Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – Prova 2 – 2011
Questa˜o 1.
Calcule as seguintes expresso˜es:
(1,0) (a) logn
[
logn
n
√
n
√
n
√
n
]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos e´ fixada arbitrariamente.
Questa˜o 2.
(Como caracterizar a func¸a˜o exponencial a partir da func¸a˜o logaritmo.) Seja f : R→ R uma func¸a˜o crescente, tal
que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1), a func¸a˜o g : R → R definida por g(x) = loga f(x) e´ linear. (Use o Teorema Fundamental da
Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g e´ a func¸a˜o definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.
Questa˜o 3.
(1,0) (a) 24h apo´s sua administrac¸a˜o, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem
resta 12h apo´s a administrac¸a˜o? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga
no sangue e´ exponencial.
(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual e´ a quantidade
presente no organismo apo´s 24h da primeira dose?
(Questa˜o 4 na pro´xima pa´gina)
MA11 — Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – Prova 2 – 2011
Questa˜o 4.
(1,0) (a) Usando as fo´rmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que
tg(x− y) = tg(x)− tg(y)
1 + tg(x) · tg(y)
(desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(1,5) (b) Levando em conta que um aˆngulo e´ ma´ximo num certo intervalo quando sua tangente e´ ma´xima, use a fo´rmula
acima para resolver o seguinte problema:
Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversa´rio ao longo de uma
reta paralela a` lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam
a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador veˆ a meta sob aˆngulo ma´ximo quando sua
distaˆncia x ao fundo do campo e´ igual a
√
ab.
a
b
x
PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011
Questa˜o 1.
Calcule as seguintes expresso˜es:
(1,0) (a) logn
[
logn
n
√
n
√
n
√
n
]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos e´ fixada arbitrariamente.
UMA SOLUC¸A˜O
(a) Como n
√
n
√
n
√
n = n1/n
3
, temos
logn
n
√
n
√
n
√
n =
1
n3
= n−3 ,
logo o valor da expressa˜o dada e´ −3.
(b) Tomando logaritmo na base b que foi fixada, temos
log
(
xlog a/ log x
)
=
log a
log x
· log x = log a .
Como a func¸a˜o log e´ injetiva, segue-se que
xlog a/ log x = a .
1
PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011
Questa˜o 2.
(Como caracterizar a func¸a˜o exponencial a partir da func¸a˜o logaritmo.) Seja f : R→ R uma func¸a˜o crescente, tal
que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1) a func¸a˜o g : R → R definida por g(x) = loga f(x) e´ linear. (Use o Teorema Fundamental da
Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g e´ a func¸a˜o definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.
UMA SOLUC¸A˜O
O objetivo desta questa˜o e´ mostrar que e´ poss´ıvel caracterizar a func¸a˜o exponencial a partir da func¸a˜o logaritmo,
sem usar argumentos geome´tricos, como esta´ no livro no caso de logaritmos naturais.
(a) Sendo crescente, f na˜o e´ identicamente nula. Da´ı resulta que f(x) 6= 0 para todo x ∈ R, pois se existisse x0 ∈ R
com f(x0) = 0 ter´ıamos, para qualquer x ∈ R,
f(x) = f(x0 + (x− x0)) = f(x0) · f(x− x0) = 0
e f seria identicamente nula.
Em seguida, notamos que
f(x) = f(
x
2
+
x
2
) = f(
x
2
) · f(x
2
) = [f(
x
2
)]2 > 0
para todo x ∈ R.
Vamos mostrar que f(0) = 1. Como f(0) = f(0+0) = f(0) ·f(0), enta˜o f(0) e´ soluc¸a˜o positiva da equac¸a˜o x = x2.
Como essa equac¸a˜o so´ tem 1 como soluc¸a˜o positiva, a igualdade esta´ demonstrada.
Finalmente, como f e´ crescente, f(1) > f(0) = 1.
(b) O Teorema Fundamental da Proporcionalidade diz que se g : R→ R e´ crescente e satisfaz g(x+ y) = g(x) + g(y)
para quaisquer x, y ∈ R, enta˜o g e´ linear, isto e´, g(x) = cx, com c > 0. No nosso caso, temos
g(x+ y) = loga f(x+ y) = loga[f(x) · f(y)] = loga f(x) + loga f(y) = g(x) + g(y) ,
para quaisquer x, y ∈ R.
(c) Temos g(1) = loga f(1) = loga a = 1, portanto g(x) = x para todo x ∈ R.
(d) Como acabamos de ver, loga f(x) = x, para todo x ∈ R. Como loga ax = x e a func¸a˜o loga e´ injetiva, segue-se
que f(x) = ax.
2
PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011
Questa˜o 3.
(1,0) (a) Usando as fo´rmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que
tg(x− y) = tg(x)− tg(y)
1 + tg(x) · tg(y)
(desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(1,5) (b) Levando em conta que um aˆngulo e´ ma´ximo num certo intervalo quando sua tangente e´ ma´xima, use a fo´rmula
acima para resolver o seguinte problema:
Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversa´rio ao longo de uma
reta paralela a` lateral do campo que cruza a linha de fundo forado gol (ver figura). Os postes da meta distam
a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador veˆ a meta sob aˆngulo ma´ximo quando sua
distaˆncia x ao fundo do campo e´ igual a
√
ab.
a
b
x
UMA SOLUC¸A˜O
(a) A manipulac¸a˜o e´ direta:
tg(x− y) = sen(x− y)
cos(x− y) =
sen(x) · cos(y)− sen(y) · cos(x)
cos(x) · cos(y) + sen(x) · sen(y) .
Dividindo o numerador e o denominador por cos(x) · cos(y) (se tg(x) e tg(y) esta˜o definidas, cos(x) e cos(y) sa˜o na˜o
nulos), vem
tg(x− y) =
sen(x)
cos(x) − sen(y)cos(y)
1 + sen(x)
cos(x) · sen(y)cos(y)
=
tg(x)− tg(y)
1 + tg(x) · tg(y) .
(b) Em cada instante, o jogador veˆ a meta sob o aˆngulo α = α2−α1, onde α1 e α2 sa˜o os aˆngulos entre sua trajeto´ria
e as retas que o ligam aos postes da meta. Temos
tg(α) =
tg(α2)− tg(α1)
1 + tg(α1) · tg(α2) .
3
Se x e´ a distaˆncia do jogador ao fundo do campo, temos tg(α1) =
a
x e tg(α2) =
b
x , logo
tg(α) =
b
x − ax
1 + abx2
=
b− a
x+ abx
.
Como o numerador b− a e´ constante, tg(α) e´ ma´xima quando o denominador for mı´nimo. Ou seja, e´ preciso achar
x que minimiza a expressa˜o x+ abx .
Como a me´dia aritme´tica e´ sempre maior do que ou igual a` me´dia geome´trica, enta˜o 12 (x+
ab
x ) ≥
√
x · abx =
√
ab,
ou seja, o denominador e´ sempre maior do que ou igual a a 2
√
ab. A igualdade vale se e somente se os dois termos
da me´dia sa˜o iguais, isto e´, quando x =
√
ab. Portanto x+ abx atinge seu menor valor quando x =
√
ab.
Obs. E´ poss´ıvel resolver a questa˜o (b) com outros argumentos. Sejam A e B os extremos da meta, que distam a
e b da linha do jogador, respectivamente (veja figura abaixo, a` esquerda). Para cada posic¸a˜o P do jogador, existe
um u´nico c´ırculo que passa por A, B e P . O centro desse c´ırculo, O, esta´ na mediatriz dos pontos A e B (pois
AOB e´ triaˆngulo iso´sceles), estando, portanto, a b+a2 de distaˆncia da linha do jogador. Os segmentos OA e OB teˆm
comprimento igual ao raio do c´ırculo, digamos r, cujo valor depende de P .
Pelo Teorema do Aˆngulo Inscrito, AOˆB = 2APˆB. Assim, APˆB e´ ma´ximo quando AOˆB e´ ma´ximo. E AOˆB e´
ma´ximo quando a distaˆncia OA = OB = r e´ mı´nima. Mas o menor r poss´ıvel e´ aquele tal que o c´ırculo de centro
sobre a mediatriz de A e B e raio r tangencia a linha do jogador. Nessa situac¸a˜o, OP e´ perpendicular a` linha do
jogador e r = b+a2 (ver figura abaixo, a` direita).
O valor de x, neste caso, e´ a altura do triaˆngulo AOB com relac¸a˜o a` base AB (ou seja, o comprimento da apo´tema
da corda AB). Esse valor sai do Teorema de Pita´goras aplicado ao triaˆngulo AOQ, em que Q e´ o ponto me´dio de
AB. Ou seja,
x2 +
(
b− a
2
)2
= r2 =
(
a+ b
2
)2
.
Dessa equac¸a˜o resulta a soluc¸a˜o x =
√
ab.
xP
A
B
O
α
2α
xP
A
B
O
α
2α
4
PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011
Questa˜o 4.
(1,0) (a) 24h apo´s sua administrac¸a˜o, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem
resta 12h apo´s a administrac¸a˜o? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga
no sangue e´ exponencial.
(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual e´ a quantidade
presente no organismo apo´s 24h da primeira dose?
UMA SOLUC¸A˜O
(a) Sendo exponencial, a quantidade de droga no organismo obedece a` lei c0a
t, onde a e´ um nu´mero entre 0 e 1, c0 e´
a dose inicial (obtida da expressa˜o para t = 0) e t e´ medido, por exemplo, em horas. Apo´s 24h a quantidade se reduz
a 110 da inicial, isto e´,
c0a
24 =
c0
10
.
Portanto a24 = 110 . Da´ı segue que a
12 = 1√
10
, e que
c0a
12 =
c0√
10
.
Enta˜o a quantidade de droga apo´s 12h e´ a quantidade inicial dividida por
√
10.
(b) Para saber o tempo necessa´rio para a reduc¸a˜o da quantidade de droga a` metade (isto e´, a meia-vida da droga no
organismo), basta achar t que cumpra at = 12 . Como a
24 = 110 implica
a24s =
(
1
10
)s
a resposta e´ t = 24s, onde s e´ tal que 10−s = 2−1. Da´ı segue que s = log10 2 e que t = 24 log10 2.
(c) A quantidade logo apo´s a primeira dose e´ c0. Apo´s 12h ela decai para
c0√
10
. Uma nova administrac¸a˜o a eleva para
c0 +
c0
10 = c0(1 +
1√
10
). Apo´s mais 12h essa quantidade e´ dividida por
√
10, passando a ser
c0
(
1√
10
+
1
10
)
,
logo, com c0 = 10 mg, restara˜o, apo´s 24h da primeira dose,
(1 +
√
10) mg.
5
MA11 — Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – Prova 3 – 2011
Questa˜o 1.
(1,0) (a) Prove isto: Se um nu´mero natural na˜o e´ o quadrado de um outro nu´mero natural, sua raiz quadrada e´ irracional.
(1,0) (b) Mostre que
√
2 +
√
5 e´ irracional.
Questa˜o 2.
(2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu
choque com a a´gua no fundo do poc¸o decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poc¸o. Dar a resposta
em func¸a˜o da acelerac¸a˜o g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fo´rmula s = g
2
t2 do espac¸o percorrido
no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
Questa˜o 3.
(2,0) Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distaˆncia d = AB em direc¸a˜o a` base inacess´ıvel de um poste
CD, nota-se (com o aux´ılio de um teodolito) que os aˆngulos CAˆD e CBˆD medem, respectivamente, α e β
radianos. Qual e´ a altura do poste CD?
A B C
D
dα β
MA11 — Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – Prova 3 – 2011
Questa˜o 4.
(2,0) Um reservato´rio conte´m uma mistura de a´gua com sal (uma salmoura), que se mante´m homogeˆnea grac¸as a
um misturador. Num certo momento, sa˜o abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja a´gua no
reservato´rio e a outra escoa. Apo´s 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura
reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecera´
na salmoura apo´s 24h de abertura das torneiras?
Questa˜o 5.
Considere a func¸a˜o f : [1,+∞)→ R, definida por f(x) = x3 − x2.
(1,0) (a) Defina func¸a˜o crescente e prove que f e´ crescente.
(1,0) (b) Defina func¸a˜o ilimitada e prove que f e´ ilimitada.
PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011
Questa˜o 1.
(1,0) (a) Prove isto: Se um nu´mero natural na˜o e´ o quadrado de um outro nu´mero natural, sua raiz quadrada e´ irracional.
(1,0) (b) Mostre que
√
2 +
√
5 e´ irracional.
UMA SOLUC¸A˜O
(a) Seja n ∈ N. Se p
q
∈ Q e´ tal que
(
p
q
)2
= n, enta˜o p2 = nq2. Como os fatores primos de p2 e q2 aparecem todos com
expoente par, o mesmo deve ocorrer com os fatores primos de n. Enta˜o n e´ o quadrado de algum nu´mero natural.
(b) Se
√
2 +
√
5 fosse racional enta˜o seu quadrado
q = (
√
2 +
√
5)2 = 2 + 2
√
10 + 5 = 7 + 2
√
10
tambe´m seria. Mas a´ı q−7
2
=
√
10 tambe´m seria racional, o que na˜o e´ poss´ıvel, pois 10 na˜o e´ o quadrado de um
nu´mero natural.
1
PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011
Questa˜o 2.
(2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu
choque com a a´gua no fundo do poc¸o decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poc¸o. Dar a resposta
em func¸a˜o da acelerac¸a˜o g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fo´rmula s = g
2
t2 do espac¸o percorrido
no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
DUAS SOLUC¸O˜ES
Uma soluc¸a˜o. O tempo S = t1 + t2 e´ a soma do tempo t1 que a pedra levou para chegar ao fundo mais o tempo t2
que o som levou para vir ate´ o n´ıvel da borda. Chamando de x a profundidade do poc¸o, temos x = g
2
t2
1
e, por outrolado, x = vt2 = v(S − t1). Logo
g
2
t2
1
= v(S − t1)
ou
gt2
1
+ 2vt1 − 2vS = 0 ,
que e´ uma equac¸a˜o quadra´tica na inco´gnita t1. As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o sa˜o
−2v +
√
4v2 + 8gvS
2g
,
−2v −
√
4v2 + 8gvS
2g
.
A segunda e´ negativa e neste problema na˜o faz sentido. A primeira e´ positiva, porque
√
4v2 + 8gvS >
√
4v2 = 2v.
Enta˜o, dividindo por 2 o numerador e o denominador da frac¸a˜o,
t1 =
−v +
√
v2 + 2gvS
g
,
logo
x = vt2 = v(S − t1) = Sv + v
2
g
− v
g
√
v2 + 2gvS .
Outra soluc¸a˜o. A soluc¸a˜o e´ essencialmente determinada por aquilo que escolhemos como inco´gnita (t1, t2 ou x).
Se equacionarmos diretamente em x iremos pelo seguinte caminho. Observe que t1 =
√
2x
g
e t2 =
x
v
. Enta˜o, de
t1 + t2 = S resulta uma equac¸a˜o em x:
x
v
+
√
2g−1
√
x− S = 0 .
Definamos y =
√
x. Enta˜o precisamos achar soluc¸o˜es positivas de
v−1y2 +
√
2g−1y − S = 0 .
A u´nica soluc¸a˜o positiva dessa equac¸a˜o quadra´tica e´
y =
−
√
2g−1 +
√
2g−1 + 4Sv−1
2v−1
.
Enta˜o
x = y2 =
v2
4
[
2
g
+
(
2
g
+
4S
v
)
− 2
√
4
g2
+
8S
vg
]
,
que equivale a` expressa˜o obtida na primeira soluc¸a˜o.
2
PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011
Questa˜o 3.
(2,0) Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distaˆncia d = AB em direc¸a˜o a` base inacess´ıvel de um poste
CD, nota-se (com o aux´ılio de um teodolito) que os aˆngulos CAˆD e CBˆD medem, respectivamente, α e β
radianos. Qual e´ a altura do poste CD?
A B C
D
dα β
UMA SOLUC¸A˜O
Temos CD = AC tgα = BC tgβ. Como AC = BC + d, vem (BC + d)tgα = BC tgβ, e da´ı
BC = d · tgα
tgα− tgβ
e
CD = BC tgβ = d · tgα tgβ
tgα− tgβ ,
que e´ a resposta para a pergunta.
3
PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011
Questa˜o 4.
(2,0) Um reservato´rio conte´m uma mistura de a´gua com sal (uma salmoura), que se mante´m homogeˆnea grac¸as a
um misturador. Num certo momento, sa˜o abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja a´gua no
reservato´rio e a outra escoa. Apo´s 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura
reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecera´
na salmoura apo´s 24h de abertura das torneiras?
UMA SOLUC¸A˜O
Seja M0 a massa de sal existente no in´ıcio da operac¸a˜o. Decorrido o tempo t, essa massa sera´ M(t) =M0a
t, onde
a e´ uma constante (0 < a < 1). Isto se justifica porque, sendo a salmoura da torneira de sa´ıda uma amostra da
salmoura do tanque, supostamente homogeˆnea, a quantidade de sal que sai por unidade de tempo e´ proporcional a`
quantidade de sal no tanque, e isto e´ o princ´ıpio que rege o decaimento exponencial.
No entanto, a constante a na˜o precisa ser calculada para se resolver o problema. O enunciado nos diz (supondo o
tempo t medido em horas) que M(8) =M0a
8 = 0, 8M0, logo a
8 = 0, 8. Apo´s 24 horas, a quantidade de sal e´ M0a
24.
Ora, a24 = (a8)3 = 0, 83 = 0, 512. Portanto a resposta e´ 51, 2%, isto e´, pouco mais que a metade.
4
PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011
Questa˜o 5.
Considere a func¸a˜o f : [1,+∞)→ R, definida por f(x) = x3 − x2.
(1,0) (a) Defina func¸a˜o crescente e prove que f e´ crescente.
(1,0) (b) Defina func¸a˜o ilimitada e prove que f e´ ilimitada.
UMA SOLUC¸A˜O
(a) Uma func¸a˜o f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, chama-se crescente quando, para x, y ∈ X, x < y implica
f(x) < f(y).
Em nosso caso, sejam x, y ∈ [1,+∞), com x < y. Vamos mostrar que f(y)− f(x) > 0. Temos
f(y)− f(x) = (y3 − y2)− (x3 − x2)
= (y3 − x3)− (y2 − x2)
= (y − x)(y2 + xy + x2)− (y − x)(y + x)
> (y − x)(y2 + x2)− (y − x)(y + x)
= (y − x)(y2 − y + x2 − x)
= (y − x)(y(y − 1) + x(x− 1)) .
Como x ≥ 1, enta˜o x(x− 1) ≥ 0; e como y > x ≥ 1, enta˜o y(y − 1) > 0 e y − x > 0. Portanto f(y)− f(x) > 0.
Outra soluc¸a˜o. Podemos definir o nu´mero positivo h = y − x, ou seja, escrever y como x + h, e provar que
f(x+ h)− f(x) > 0. Temos
f(x+ h)− f(x) = [(x+ h)3 − (x+ h)2]− [x3 − x2]
= (x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)− (x2 + 2hx+ h2)− x3 + x2
= 3x2h+ 3xh2 + h3 − 2hx− h2 .
Para mostrar que essa expressa˜o e´ positiva, precisamos achar termos positivos que, somados aos negativos, resultem
em um nu´mero positivo. Enta˜o a reescrevemos:
f(x+ h)− f(x) = 3x2h+ 3xh2 + h3 − 2hx− h2
= x2h+ 2xh2 + h3 + (2x2h− 2hx) + (xh2 − h2)
= x2h+ 2xh2 + h3 + 2hx(x− 1) + h2(x− 1) .
Como x ≥ 1 enta˜o os dois u´ltimos termos sa˜o maiores do que ou iguais a zero. Acrescido do fato que os treˆs primeiros
sa˜o positivos, tem-se que f(x+ h)− f(x) > 0, para qualquer x ≥ 1 e h > 0.
(b) Uma func¸a˜o f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, chama-se ilimitada quando, dado qualquer A > 0, pode-se
achar x ∈ X tal que f(x) > A. No nosso caso, f(x) > A significa x3 − x2 > A, ou seja, x3(1− 1
x
) > A. Ora, quando
x > 2 ja´ se tem 1 − 1
x
> 1
2
. Enta˜o, para se ter x3(1 − 1
x
) > A, basta tomar um x ∈ [1,+∞) que seja maior do que
2 e tal que x3 · 1
2
> A, isto e´, x3 > 2A, o que se obte´m simplesmente tomando x > 3
√
2A. Portanto, basta tomar
x > max{2, 3√2A}.
5
MA11 
- 
2012 
MA11 – Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – AV1 – 2012
Questa˜o 1. (2,0) Prove que se a, b, c e d sa˜o nu´meros racionais tais que a
√
2 + b
√
3 = c
√
2 + d
√
3 enta˜o a = c e
b = d.
Questa˜o 2. (2,0) Seja f : R → R uma func¸a˜o crescente tal que, para todo x racional, vale f(x) = ax + b (com
a, b ∈ R constantes). Prove que se tem f(x) = ax+ b tambe´m se x for irracional.
Questa˜o 3.
(a) (1,0) Determine uma func¸a˜o afim f : R → R tal que g : R → R, definida por g(x) = | |f(x)| − 1|, tenha o gra´fico
abaixo.
(b) (1,0) Expresse g na forma g(x) = A+α1|x−a1|+α2|x−a2|+ . . .+αn|x−an|, para algum n, explicitando os valores
de A, α1, . . . , αn.
0-1-2-3
1
2
X
Y
Questa˜o 4. (2,0) Ache uma frac¸a˜o ordina´ria igual ao nu´mero real α = 3, 757575 . . .
Questa˜o 5. Considere as seguintes possibilidades a respeito das func¸o˜es afins f, g : R→ R, em que f(x) = ax+ b e
g(x) = cx+ d.
A) f(x) = g(x) para todo x ∈ R.
B) f(x) 6= g(x) seja qual for x ∈ R.
C) Existe um u´nico x ∈ R tal que f(x) = g(x).
Com essas informac¸o˜es,
(i) (1,0) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de relac¸o˜es entre os coeficientes a, b, c e d.
(ii) (1,0) Interprete geometricamente cada uma dessas 3 possibilidades usando os gra´ficos de f e g.
AV1 -MA 11 - 2012
Questão 1.
Prove que se a, b, c e d são números racionais tais que a
√
2+ b
√
3 = c
√
2+ d
√
3 então a = c e b = d.
UMA SOLUÇÃO
A igualdade a
√
2+ b
√
3 = c
√
2+ d
√
3 implica que (a− c)√2 = (d− b)√3. Suponha que tenhamos (a, b) 6= (c, d).
Então teremos a 6= c ou b 6= d. Digamos que b 6= d (o caso a 6= c é análogo). Neste caso podemos dividir ambos os
lados por d− b, e teremos
a− c
d− b =
√
3√
2
.
Como a, b, c, d são todos racionais, o lado esquerdo é racional e igual a alguma fração irredutível pq . Mas aí teríamos
3q2 = 2p2 ,
o que é impossível, pois o lado esquerdo tem um número par de fatores 2 e o lado direito tem um número ímpar
(ou: o lado esquerdo tem um número ímpar de fatores 3 e o lado direito tem um número par).
1
AV1 -MA 11 - 2012
Questão 2.
Seja f : R → R uma função crescente tal que, para todo x racional, vale f (x) = ax + b (com a, b ∈ R
constantes). Prove que se tem f (x) = ax+ b também se x for irracional.
UMA SOLUÇÃO
Dado x irracional, podemos achar r e s racionais com r < x < s, sendo s − r tão pequeno quanto desejemos.
Como f é crescente, daí vem f (r) < f (x) < f (s), ou seja, ar + b < f (x) < as+ b. Como f é crescente, então a > 0,
logo podemos subtrair b de cada termo e dividir por a, sem alterar a direção das desigualdades:
r <
f (x)−b
a
< s .
Como r e s podem ser escolhidos tão próximos de x quanto desejemos, isto nos obriga a ter f (x)−ba = x e, portanto,
f (x) = ax+ b.
2
AV1 -MA 11 - 2012
Questão 3.
(a) Determine uma função afim f : R → R tal que g : R → R, definida por g(x) = | | f (x)| − 1|, tenha o gráfico
abaixo.
(b) Expresse g na forma g(x) = A + α1|x − a1| + α2|x − a2| + . . . + αn|x − an|, para algum n, explicitando os
valores de A, α1, . . . , αn.
0-1-2-3
1
2
X
Y
UMA SOLUÇÃO
(a)
Observação: Em princípio não é necessário “deduzir” quem é f , basta apresentar uma função candidata e verificar.
No entanto, dois argumentos para obtê-la seguem abaixo.
Primeiro argumento: No trecho afim mais à direita, vale g(x) = 2x + 2. Portanto para x ≥ −1, vale, || f (x)| − 1| =
2x + 2. Então, no intervalo (−1,∞), a expressão | f (x)| − 1 não se anula, logo ou é sempre negativa, e neste caso
ter-se-á || f (x)| − 1| = −| f (x)|+ 1, ou é sempre positiva, e neste caso ter-se-á || f (x)| − 1| = | f (x)| − 1. No primeiro
caso, teríamos −| f (x)|+ 1 = 2x + 2, ou | f (x)| = −1− 2x, em particular | f (0)| = −1, o que é impossível. Então só
resta segunda opção, e | f (x)| − 1 = 2x + 2, de onde | f (x)| = 2x + 3, para x ≥ −1. Concluímos que f (x) = 2x + 3
ou f (x) = −2x− 3. Ambas as possibilidades são válidas, e escolhemos a primeira f (x) = 2x + 3. Aí observamos
que essa escolha de f (x) também funciona nos demais trechos afins.
Segundo argumento: Suponha que a taxa de variação de f seja positiva. Então, para x suficientemente afastado para
a direita da raiz de f , f é positiva e maior do que 1, de modo que || f (x)| − 1| = f (x)− 1. No trecho mais à direita,
isso dá 2x+ 2, e daí se conclui que f (x) = 2x+ 3. Nos outros intervalos, basta verificar.
Verificação: Para verificar que g(x) = || f (x)| − 1| olha-se a coincidência das funções em cada trecho afim. Os dois
lados são afins nos mesmos intervalos: (−∞,−2], [−2,− 32 ], [− 32 ,−1] e [1,∞). Logo basta verificar a coincidência
entre as funções em dois pontos de cada intervalo. Basta, portanto, verificar que coincidem em −3,−2,− 32 ,−1, 0, o
que pode ser feito facilmente.
3
(b) É natural tomar a1 = −2, a2 = − 32 e a3 = −1. Então buscamos escrever
g(x) = A+ α|x+ 2|+ β|x+ 3
2
|+ γ|x+ 1| .
Impondo g(0) = 2, g(−1) = 0, g(− 32 ) = 1 e g(−2) = 0, obtemos quatro equações lineares nas incógnitas A, α, β e
γ. Resolvendo o sistema, chegamos em A = −1, α = γ = 2 e β = −2, logo na função dada por
x 7→ −1+ 2|x+ 2| − 2|x+ 3
2
|+ 2|x+ 1| .
Resta ver que essa função é realmente a função g. Essa verificação é feita da mesma maneira que na questão (a).
4
AV1 -MA 11 - 2012
Questão 4.
Ache uma fração ordinária igual ao número real α = 3, 757575 . . .
UMA SOLUÇÃO
Se α é o número acima então 100α = 375, 757575 . . .. Subtraindo as duas igualdades, vem 99α = 372, 0000 . . ..
Logo α = 37299 .
5
AV1 -MA 11 - 2012
Questão 5.
Considere as seguintes possibilidades a respeito das funções afins f , g : R → R, em que f (x) = ax + b e
g(x) = cx+ d.
A) f (x) = g(x) para todo x ∈ R.
B) f (x) 6= g(x) seja qual for x ∈ R.
C) Existe um único x ∈ R tal que f (x) = g(x).
Com essas informações,
i) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de relações entre os coeficientes a, b, c e d.
ii) Interprete geometricamente cada uma dessas 3 possibilidades usando os gráficos de f e g.
UMA SOLUÇÃO
(i) A possibilidade A) ocorre se, e somente se, a = c e b = d. Prova: Se a = c e b = d então, para qualquer x ∈ R,
tem-se f (x) = ax + b = cx + d = g(x). Por outro lado, se f (x) = g(x) para qualquer x ∈ R, então, em particular,
f (0) = g(0), ou seja, a · 0+ b = c · 0+ d, isto é, b = d; além disso, f (1) = g(1), implicando a · 1+ b = c · 1+ d, ou
seja, a = c (usando que b = d).
A possibilidade B) ocorre se, e somente se, a = c e b 6= d. Prova: Se a = c e b 6= d, então f (x) − g(x) =
(a− c)x + (b− d) = b− d 6= 0, para qualquer x ∈ R. Por outro lado, se f (x) 6= g(x) para qualquer x ∈ R então
f (x)− g(x) = (a− c)x + (b− d) 6= 0 para qualquer x ∈ R, ou seja, (a− c)x + (b− d) não tem raiz. Mas isto só
ocorre se a = c e b 6= d.
A possibilidade C) ocorre se, e somente se, a 6= c. Prova: Se a 6= c então f (x)− g(x) = (a− c)x + (b− d) tem
única raiz igual a d−ba−c , logo este é o único ponto x tal que f (x) = g(x). Por outro lado, se existe um único ponto x
tal que f (x) = g(x) é porque a diferença f (x)− g(x) = (a− c)x+ (b− d) tem uma única raiz, ou seja, a− c 6= 0.
(ii) No caso A), os gráficos de f e g são retas coincidentes. No caso B), os gráficos de f e g são retas paralelas. No
caso C), os gráficos de f e g são retas concorrentes.
6
MA11 – Nu´meros, conjuntos e func¸o˜es elementares – AV2 – 2012
Questa˜o 1. (2,0) Seja f : R → R uma func¸a˜o tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R.
Prove que ou f(x) = x para todo x ou enta˜o f(x) = −x seja qual for x.
Questa˜o 2. (2,0) Dada a func¸a˜o quadra´tica f(x) = ax2 + bx + c, consideremos as func¸o˜es afins g(x) = mx + t,
onde m e´ fixo e t sera´ escolhido convenientemente. Prove que existe uma (u´nica) escolha de t para a qual a equac¸a˜o
f(x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x. Interprete este fato geometricamente em termos dos gra´ficos de f e g.
Questa˜o 3. (2,0) Dados os pontos A = (3, 7), B = (4, 5), C = (5, 5) e D = (5, 3) em R2, determine a func¸a˜o afim
f(x) = ax+ b cujo gra´fico conte´m treˆs desses pontos.
Questa˜o 4. (2,0) A populac¸a˜o de uma cultura de bacte´rias, num ambiente esta´vel e controlado, e´ estimada pela
a´rea que ocupa sobre uma superf´ıcie plana. Se, decorridos 20 dias, a populac¸a˜o duplicou, enta˜o ela ficou 50% maior
(a) antes de 10 dias.
(b) ao completar 10 dias.
(c) apo´s 10 dias.
Escolha a resposta certa e justifique sua opc¸a˜o.
Questa˜o 5. (2,0) Dados nu´meros reais positivos x e y, ache α e β tais que cosx · cos y = 1
2
cosα + 1
2
cosβ. Em
seguida mostre como (mediante o uso de uma tabela de func¸o˜es trigonome´tricas) esta igualdade pode ser empregada
para reduzir o produto de dois nu´meros reais positivos quaisquer a`s operac¸o˜es de soma e divisa˜o por 2.
AV2 - MA 11 - 2012
Questão 1. Seja f : R → R uma função tal que f (0) = 0 e | f (x)− f (y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove
que ou f (x) = x para todo x ou então f (x) = −x seja qual for x.
UMA SOLUÇÃO
Tomando y = 0, vemos que | f (x)| = |x|, logo f (x) = ±x para todo x. Resta mostrar que não se pode ter
f (x1) = x1 e f (x2) = −x2 com x1 e x2 não nulos. De fato, se isto ocorresse, então
|x1 + x2| = |x1 − (−x2)| = | f (x1)− f (x2)| = |x1 − x2| .
Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade |x1 + x2| = |x1 − x2| concluiríamos que x1x2 = −x1x2, isto é,
que x1x2 = 0, o que é uma contradição com o fato de x1 e x2 serem ambos nulos.
1
AV2 - MA 11 - 2012
Questão 2. Dada a função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, consideremos as funções afins g(x) = mx + t, onde
m é fixo e t será escolhido convenientemente. Prove que existe uma (única) escolha de t para a qual a equação
f (x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x. Interprete este fato geometricamente em termos dos gráficos de f e g.
UMA SOLUÇÃO
A equação f (x) = g(x) significa ax2 + (b−m)x + c− t = 0. Esta equação do segundo grau tem uma raiz única
se, e somente se, seu discriminante (b− m)2 − 4a(c− t) é igual a zero, ou seja, se t = c− (b−m)24a (observando que
a 6= 0, já que f é quadrática).
Ao variar t, a reta gráfico de g se desloca paralelamente a si mesma e toca a parábola gráfico de f num só ponto
quando é sua tangente. Este é o valor de t que foi calculado.
2
AV2 - MA 11 - 2012
Questão 3. Dados os pontos A = (3, 7), B = (4, 5), C = (5, 5) e D = (5, 3) em R2, determine a função afim
f (x) = ax + b cujo gráfico contém três desses pontos.
UMA SOLUÇÃO
As inclinações dos segmentos AB, AC e AD são, respectivamente,−2, −1 e −2. Portanto A, B e D são colineares.
O segmento CD é vertical, logo C e D não podem pertencer ao gráfico de uma função afim. Logo, além de A, B,
D só resta a possibilidade de que A, B e C sejam colineares. No entanto, AB tem inclinação −2 e BC tem inclinação
0, então A, B e C não podem ser colineares.
Assim, A, B e D são os únicos três pontos colineares dentre os quatro pontos dados. A função afim cujo gráfico
os contém é f (x) = ax + b tal que f (3) = 7 e f (4) = 5. Portanto 3a + b = 7 e 4a + b = 5. Daí resulta que a = −2 e
b = 13. A função procurada é f (x) = −2x + 13.
3
AV2 - MA 11 - 2012
Questão 4. A população de uma cultura de bactérias, num ambiente controlado, é estimada pela área que ocupa
sobre uma superfície plana e tem taxa de crescimento diária proporcional a seu tamanho. Se, decorridos 20 dias, a
população duplicou, então ela ficou 50% maior
(a) antes de 10 dias.
(b) ao completar 10 dias.
(c) após 10 dias.
Escolha a resposta certa e justifique sua opção.
UMA SOLUÇÃO
Se p0 é a população original, após decorridos t dias a população p = p(t) será dada por p = p0at, onde a é uma
constante maior do que 1. Temos p0a20 = 2p0, logo a20 = 2. Então p(10) = p0a10 = p0
√
a20 = p0
√
2 ≃ 1, 414p0.
Então p(10) < 1, 5p0, o que nos faz concluir que o crescimento de 50% será atingido após os primeiros 10 dias. A
opção correta é (c).
4
AV2 - MA 11 - 2012
Questão 5. Dados números reais positivos x e y, ache α e β tais que cos x · cos y = 12 cos α + 12 cos β. Em seguida
mostre como (mediante o uso de uma tabela de funções trigonométricas) esta igualdade pode ser empregada para
reduzir o produto de dois números reais positivos quaisquer às operações de soma e divisão por 2.
UMA SOLUÇÃO
A fórmula do cosseno de uma soma, junto com a observação de que sen(−y) = −sen y, nos dá
cos(x + y) = cos x · cos y− sen x · sen y
e
cos(x− y) = cos x · cos y + sen x · sen y ,
logo cos(x + y) + cos(x− y) = 2 cos x · cos y. Daí resulta a igualdade proposta, com α = x + y e β = x− y.
Em seguida, se a e b são números reais positivos quaisquer, dados por suas expressões decimais, deslocando as
vírgulas que separam suas partes inteiras (alteração que pode facilmente ser refeita no final), podemos supor que
esses números são ambos compreendidos entre 0 e 1. A tabela nos dá x e y tais que cos x = a e cos y = b. E a
igualdade inicial fornece ab = cos x · cos y = 12 (cos(x + y) + cos(x − y)). Na prática, é preciso (i) tomar x e y pela
tabela; (ii) calcular x + y e x − y; (iii) obter seus cossenos, também pela tabela; (iv) somar os cossenos; e (v) dividir
por 2.
Este artifício era usado pelos astrônomos antes da descoberta dos logaritmos.
5
MA11 – Nu´meros e func¸o˜es reais – AV3 – 2012
Questa˜o 1. (2,0) Sejam a, x nu´meros reais positivos, com
√
a < x. Pondo y = 1
2
(x+ a
x
), prove que
√
a < y < x.
Questa˜o 2. (2,0) A imagem (ou conjunto de valores) de uma func¸a˜o f : R → R e´ o conjunto f(R) cujos elementos
sa˜o os nu´meros f(x), onde x e´ qualquer nu´mero real.
Determine as imagens da func¸a˜o afim f : R → R, f(x) = rx + s, e da func¸a˜o quadra´tica g : R → R, g(x) =
ax2 + bx+ c. Discuta as possibilidades e justifique suas afirmac¸o˜es.
Questa˜o 3. (2,0) Uma torneira leva x horas para encher um tanque, outra leva y horas e uma terceira enche esse
mesmo tanque em z horas. Em quanto tempo as treˆs juntas enchera˜o o tanque?
Questa˜o 4. (2,0) Uma cultura de bacte´rias, cuja populac¸a˜o e´ medida pela a´rea que ocupa sobre uma superf´ıcie
plana, ficou 64 vezes maior apo´s 1 ano. Quantas vezes maior ela estava apo´s 1 trimestre?
Questa˜o 5. (2,0) Seja r o raio da circunfereˆncia sobre a qual esta˜o os ve´rtices do triaˆngulo ABC. Se a e´ a medida
do lado oposto ao aˆngulo Â, prove que sen  = a
2r
(dica: baixe, do centro da circunfereˆncia, a perpendicular a BC).
Conclua da´ı a Leis dos Senos.
AV3 -MA 11 - 2012
Questão 1. Sejam a, x números reais positivos, com
√
a < x. Pondo y = 12 (x +
a
x ), prove que
√
a < y < x.
UMA SOLUÇÃO
Primeiro notamos que x é maior do que ax :
√
a < x significa a < x2, logo ax < x, usando que x é positivo. Como y
é a média aritmética dos números x e ax , dos quais x é o maior, então y < x.
Outra maneira:
y =
1
2
(x +
a
x
) <
1
2
(x +
x2
x
) = x ,
usando a < x2.
Além disso, como a média aritmética de dois números diferentes é maior do que a média geométrica e como a
média geométrica de x e ax é igual a
√
a, resulta que y >
√
a.
Essa última desigualdade também poderia ser feita diretamente:
y2 =
1
4
(x2 + 2a +
a2
x2
) =
1
4
(x2 − 2a + a
2
x2
+ 4a) = a +
1
4
(x− a
x
)2 > a .
1
AV3 - MA 11 - 2012
Questão 2. A imagem (ou conjunto de valores) de uma função f : R → R é o conjunto f (R) cujos elementos são os
números f (x), onde x é qualquer número real.
Determine as imagens da função afim f : R → R, f (x) = rx + s, e da função quadrática g : R → R, g(x) =
ax2 + bx + c. Discuta as possibilidades e justifique suas afirmações.
UMA SOLUÇÃO
Para a função afim f , há duas possibilidades: se r = 0 então f é constante e sua imagem é o conjunto {s}, com um
só elemento. A segunda possibilidade ocorre se r 6= 0. Então f (R) = R pois, dado qualquer y ∈ R, existe x ∈ R tal
que f (x) = y, ou seja, rx + s = y. Basta tomar x = y−sr .
No caso da função quadrática g(x) = ax2 + bx + c, há duas possibilidades para a imagem g(R). Se a > 0 então
a imagem é a semirreta (intervalo infinito) [k,+∞) e se a < 0 então f (R) = (−∞, k], onde k (em ambos os casos) é
igual a
g(− b
a
) =
4ac− b2
4a
.
Justificando: se a > 0 então, tomando qualquer y ∈ [k,+∞), ou seja, y ≥ k, para achar x ∈ R tal que f (x) = y,
devemos mostrar que a equação ax2 + bx + c = y, isto é, ax2 + bx + c− y = 0, possui raízes reais. Isto ocorre se, e
somente se, seu discriminante b2 − 4a(c− y) é maior do que ou igual a 0. Como y ≥ 4ac−b24a , isto sempre ocorre.
O que acabamos de mostrar foi que [k,+∞) ⊂ g(R). Para ver que g(R) ⊂ [k,+∞), basta observar que, em
virtude da forma canônica g(x) = a(x−m)2 + k, quando a > 0 todos os valores g(x) são maiores do que ou iguais
a k.
A discussão do caso a < 0 é inteiramente análoga.
2
AV3 - MA 11 - 2012
Questão 3. Uma torneira leva x horas para encher um tanque, outra leva y horas e uma terceira enche esse mesmo
tanque em z horas. Em quanto tempo as três juntas encherão o tanque?
UMA SOLUÇÃO
As três torneiras separadamente, abertas durante uma hora, encherão respectivamente as frações 1x ,
1
y e
1
z do
tanque e, abertas juntas, encherão 1x +
1
y +
1
z do tanque. Logo, juntas, encherão o tanque em
1
1
x +
1
y +
1
z
=
xyz
yz + xz + xy
horas.
3
AV3 - MA 11 - 2012
Questão 4. Uma cultura de bactérias, cuja população é medida pela área que ocupa sobre uma superfície plana,
ficou 64 vezes maior após 1 ano. Quantas vezes maior ela estava após 1 trimestre?
UMA SOLUÇÃO
Seja p0 a população inicial. Após decorrido o tempo t, a população será p0at = p, onde a é uma constante maior
do que 1, determinada experimentalmente. Medindo o tempo em meses, temos p = p0a12 = 64p0, após 1 ano.
Quer-se saber o valor de p = p0a3. De a12p0 = 64p0 temos a12 = 64 e daí a3 =
4
√
64 = 2
√
2 ≃ 2, 83. Portanto, após
um trimestre, a população de bactérias estava 2, 83 vezes maior do que a população original.
4
AV3 - MA 11 - 2012
Questão 5. Seja r o raio da circunferência sobre a qual estão os vértices do triângulo ABC. Se a é a medida do lado
oposto ao ângulo Â, prove que sen  = a2r (dica: baixe, do centro da circunferência, a perpendicular a BC). Conclua
daí a Leis dos Senos.
UMA SOLUÇÃO
Seja O o centro da circunferência e seja P no segmento BC tal que OP é perpendicular a BC. É sabido queo
ângulo BOC (ângulo central da corda BC) é o dobro do ângulo inscrito  (fato conhecido como o Teorema do
Ângulo Inscrito). Como o triângulo BOC é isósceles, então OP é bissetriz e, portanto, o ângulo POC é exatamente
igual a Â. Também pelo fato de BOC ser isósceles, OP é mediatriz, de forma que PC = a2 . Sendo OC = r e OPC
triângulo-retângulo, segue que sen (Â) = PCOC =
a/2
r =
a
2r .
O que acabamos de provar é que o seno do ângulo em A dividido pelo comprimento do lado oposto ao vértice A
é igual a 12r . O mesmo argumento se aplica a B ou a C, de modo que essa razão (seno de um ângulo dividido pelo
lado oposto) é constante. Essa é a Lei dos Senos.
5
MA11 
- 
2013 
Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 1
13 de abril de 2013
1. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente
e em detalhes as suas respostas.
(a) A soma de dois números irracionais é um número irracional. (pontuação 1,0)
(b) O produto de dois números reais com representação decimal infinita e periódica é um
número real que não possui representação decimal finita. (pontuação 1,0)
2. Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração decimal, é
possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base β ∈ N,
β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele é escrito
na forma:
a = a0 +
+∞∑
n=1
an β
−n
em que a0 ∈ Z e os an são dígitos entre 0 e β − 1.
(a) Sejam x e y os números reais cujas representações no sistema de numeração de base
4 são dadas por 0, 321 e 0, 111 . . ., respectivamente. Determine as representações de
x e de y no sistema decimal. (pontuação 1,0)
(b) Mostre que um número racional a = m
n
∈ R, com m,n ∈ Z, n 6= 0 e mdc(m,n) = 1,
possui representação finita no sistema de numeração posicional de base β se, e somente
se, o denominador n não possui fatores primos que não sejam fatores de β. (pontuação
1,0)
3. (a) Considere a função h : [0,+∞[→ R definida por h(x) = √x+√2x . Usando o fato
de que a função g : [0,+∞[→ R, definida por g(x) = √x é monótona crescente,
mostre que h é monótona crescente. (pontuação 0,5)
(b) Conclua, com base no item anterior, que, ∀ a ∈ R, a > 0 a equação √x = a−√2x
admite uma única solução real. (pontuação 0,5)
(c) Considere a seguinte resolução para a equação
√
x = 1−√2x :
√
x = 1−√2x ⇒ x = 1− 2√2x+ 2x ⇒ 1 + x = 2√2x ⇒
1 + 2x+ x2 = 8x ⇒ x2 − 6x+ 1 = 0 ⇒ x = 3± 2√2
Este método de resolução está correto? Justifique sua resposta. (pontuação 1,0)
4. Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:{
3 x− x2 se −1 6 x < 1
||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontu-
ação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
(pontuação 0,5)
5. Considere a função quadrática f : R→ R, f(x) = a x2 + b x+ c, com a > 0. Use a forma
canônica do trinômio de segundo grau
y = a (x− x0)2 + y0
para mostrar que:
(a) (x0, y0) é um ponto de mínimo absoluto de f ; (pontuação 1,0)
(b) a reta x = x0 é um eixo de simetria vertical do gráfico de f . (pontuação 1,0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 1 - GABARITO
13 de abril de 2013
1. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente
e em detalhes as suas respostas.
(a) A soma de dois números irracionais é um número irracional. (pontuação 1,0)
(b) O produto de dois números reais com representação decimal infinita e periódica é um
número real que não possui representação decimal finita. (pontuação 1,0)
Uma solução:
a) Falso.
Contra-exemplo: x = pi e y = 1− pi são irracionais, mas x+ y = 1 não é irracional.
b)Falso.
Contra-exemplo: x = 7
12
e y = 6
7
têm representação decimal infinita, mas x.y = 1
2
possui
representação decimal finita.
2. Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração decimal, é
possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base β ∈ N,
β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele é escrito
na forma:
a = a0 +
+∞∑
n=1
an β
−n
em que a0 ∈ Z e os an são dígitos entre 0 e β − 1.
(a) Sejam x e y os números reais cujas representações no sistema de numeração de base
4 são dadas por 0, 321 e 0, 111 . . ., respectivamente. Determine as representações de
x e de y no sistema decimal. (pontuação 1,0)
(b) Mostre que um número racional a = m
n
∈ R, com m,n ∈ Z, n 6= 0 e mdc(m,n) = 1,
possui representação finita no sistema de numeração posicional de base β se, e somente
se, o denominador n não possui fatores primos que não sejam fatores de β. (pontuação
1,0)
Uma solução:
a) Pela definição da expressão de um número real no sistema de numeração posicional de
base β, temos que:
x = (0, 321)β = 3× 1
4
+ 2× 1
42
+ 1× 1
43
=
3
4
+
1
8
+
1
64
=
57
64
= 0, 890625
y = (0, 111 . . .)β =
+∞∑
k=1
1
4k
Portanto, a expressão acima é a soma da progressão geométrica infinita cujo termo inicial
é 1
4
e a razão é 1
4
. Essa soma converge para:
1
4
1− 1
4
=
1
3
= 0, 333 . . .
b) Observamos que um número a possui representação finita no sistema de numeração
posicional de base β se, e somente se, existe um expoente k ∈ N tal que βka ∈ N.
Assim, se
m
n
possui representação finita no sistema de numeração posicional de base β,
então
βkm
n
∈ N para algum k ∈ N. Logo, n | βkm. Como mdc(m,n) = 1, então n | βk.
Portanto, n não possui fatores primos que não sejam fatores de βk. Mas estes são os
mesmos fatores primos de β.
Reciprocamente, se n não possui fatores primos que não sejam fatores de β, então n | βk,
para um expoente k suficientemente grande. Logo, n | βkm, portanto β
km
n
∈ N. Então,
m
n
possui representação finita no sistema de numeração posicional de base β.
3. (a) Considere a função h : [0,+∞[→ R definida por h(x) = √x+√2x . Usando o fato
de que a função g : [0,+∞[→ R, definida por g(x) = √x é monótona crescente,
mostre que h é monótona crescente. (pontuação 0,5)
(b) Conclua, com base no item anterior, que, ∀ a ∈ R, a > 0 a equação √x = a−√2x
admite uma única solução real. (pontuação 0,5)
(c) Considere a seguinte resolução para a equação
√
x = 1−√2x :
√
x = 1−√2x ⇒ x = 1− 2√2x+ 2x ⇒ 1 + x = 2√2x ⇒
1 + 2x+ x2 = 8x ⇒ x2 − 6x+ 1 = 0 ⇒ x = 3± 2√2
Este método de resolução está correto? Justifique sua resposta. (pontuação 1,0)
Uma solução:
a) Temos que h(x) =
√
x+
√
2 x = (1 +
√
2)
√
x = (1 +
√
2) g(x). Como g é crescente,
então, x1, x2 ∈ [0,+∞[ , x1 < x2 ⇒ g(x1) < g(x2) ⇒ h(x1) < h(x2). Portanto, h é
crescente.
b) A existência da solução da equação
√
x = a−√2x é explícita: dado a ≥ 0, x = a2
(1+√
2)2
é uma solução. Mesmo que não conseguíssemos uma solução explícita, a garantia teórica
da existência de uma solução desta equação é uma consequência da continuidade de h
e de que limx→+∞ h(x) = +∞. Assim, para todo a ∈ R, a ≥ 0, existe pelo menos
um x ∈ [0,+∞[ tal que h(x) = a. Vejamos a unicidade: suponhamos que existam
x1 x2 ∈ [0,+∞[ , x1 6= x2 tais que h(x1) = h(x2) = a. Digamos x1 < x2. Como h
é crescente, deveríamos ter h(x1) < h(x2). Logo, existe um único x ∈ [0,+∞[ tal que
h(x) = a, isto é,
√
x = a−√2x .
c) Pelo item anterior, a equação
√
x = 1 −√2x admite uma única solução. Portanto, a
resolução não está correta.
Na primeira passagem da resolução, é verdade que
√
x = 1−√2x⇒ x = 1−2√2x+2x.
Entretanto, x = 1 − 2√2x + 2x 6⇒ √x = 1 −√2x. De fato, nesta implicação, estamos
implicitamente fazendo:
x = 1− 2
√
2x+ 2x = (1−
√
2x)2 ⇒ √x =
√
(1−
√
2x)2 = 1−
√
2x .
Em primeiro lugar, para que a implicação acima seja verdadeira, devemos supor que x > 0,
o que já é uma hipótese inicial para a resolução da equação. Além disso, temos que
1 − 2√2x + 2x = (1 − √2x)2, mas a igualdade
√
(1−√2x)2 = 1 − √2x só vale se
1−√2x > 0. Logo, a implicação acima só é verdadeira se 0 6 x 6 1
2
.
Portanto, nessa passagem ocorre uma inclusão de raízes estranhas à equação.
4. Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:{
3 x− x2 se −1 6 x < 1
||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontu-
ação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
(pontuação 0,5)
Uma solução:
a) O gráfico da função p é dado por:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 -1 
-2 
-1 
-3 
-4 
1 
2 
3 
b) Resolvendo 3 x − x2 = 2, obtemos x = 1 ou x = 2, mas estes valores estão fora do
intervalo em que p é definida pela expressão y = 3 x − x2. Resolvendo ||x − 2| − 1| = 2,
obtemos |x− 2| = 1± 2. Como não há valores de x tais que |x− 2| = −1, resta apenas
a alternativa |x − 2| = 3. Esta implica em x = 2 ± 3, portanto x = −1 ou x = 5, mas
x = −1 está fora do intervalo em que p é definida pela expressão y = ||x − 2| − 1| = 2,
portanto, a única solução da equação p(x) = 2 é x = 5. De fato, percebemos pelo gráfico
esboçado no item anterior que a reta y = 2 intercepta o gráfico de p apenas quando x = 5.
c) Analisando o gráfico, concluímos que a função p possui:
• mínimo absoluto em x = −1;
• mínimo local em x = 1;
• máximo local em x = 2;
• mínimo local em x = 3;
• máximo absoluto em x = 5.
d) Na definição da função q, a variável de p é multiplicada por 2 e somada a 1 e, em
seguida, a função p é somada à constante −2. Estas operações podem ser descritas
geometricamente por meio das seguintes funções:
• p(x), cujo gráfico foi obtido em a),
• p1(x) = p(2x), cujo gráfico é obtido do de p(x) por uma contração horizontal de
razão 1
2
,
• p2(x) = p1(x + 12) = p(2(x + 12)) = p(2x + 1), cujo gráfico é obtido do de p1(x)
por uma translação horizontal de 1
2
unidade no sentido negativo do eixo (isto é, para a
esquerda),
e, finalmente,
• q(x) = p2(x) − 2, cujo gráfico é obtido do de p2(x) por meio de uma translação
vertical de 2 unidades no sentido negativo do eixo (isto é, para baixo).
Portanto, o gráfico de q tem o seguinte aspecto:
 
1 2 3 4 5 6 -1 
-2 
-1 
-3 
-4 
1 
2 
3 
-5 
-6 
5. Considere a função quadrática f : R→ R, f(x) = a x2 + b x+ c, com a > 0. Use a forma
canônica do trinômio de segundo grau
y = a (x− x0)2 + y0
para mostrar que:
a) (x0, y0) é um ponto de mínimo absoluto de f ; (pontuação 1,0)
b) a reta x = x0 é um eixo de simetria vertical do gráfico de f . (pontuação 1,0)
Uma solução:
a) Temos que f(x0) = y0. Além disso, para qualquer x ∈ R, x 6= x0, temos a (x− x0)2 > 0,
portanto:
f(x) = a (x− x0)2 + y0 > y0 = f(x0)
Segue que (x0, y0) é ponto de mínimo absoluto de f .
b) Dado r > 0 qualquer temos:
f(x0 − r) = a r2 + y0
f(x0 + r) = a r
2 + y0
Portanto, f(x0− r) = f(x0 + r), ∀r > 0. Logo, a reta x = x0 é um eixo de simetria vertical
do gráfico de f .
Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 2
22 de junho de 2013
1. [ 2 pontos ] Em cada um dos itens abaixo, dê, se possível, um exemplo de um polinômio
p(x) satisfazendo todas as condições dadas.
Caso o exemplo não seja possível, justifique a sua resposta.
Lembre-se que se p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn então
p′(x) = a1 + 2a2x+ · · ·+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanx
n−1
(a) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 1 e p(x) é de grau 2.
(b) p(1) = p(−1) = 0 e p′(0) = 1.
(c) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 0 e p(x) é de grau 2.
(d) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 2.
(e) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 3.
[pontuação de cada ítem: 0,4 ponto]
2. [ 2 pontos ] Um número real x0 é raiz de multiplicidade k do polinômio p(x) se p(x) =
(x− x0)
kq(x), para algum polinômio q(x), com q(x0) 6= 0.
Sugestão para resolver os ítens abaixo: Use o fato de que toda função polinomial é uma
função contínua e que "Se f é uma função real contínua e f(x0) 6= 0, então existe uma
vizinhança de x0 em que f não se anula".
(a) Mostre que x0 é raiz de multiplicidade par de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal
que p(x) não muda de sinal para x pertencente ao conjunto ]x0 − r, x0 + r[ \{x0} =
{x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r, x 6= x0}.[ 0,8 ponto ]
(b) Mostre que x0 é raiz de multiplicidade ímpar de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal
que o sinal de p(x) para x ∈ ]x0−r, x0[ é oposto ao sinal de p(x) para x ∈ ]x0, x0+r[ .
[ 0,8 ponto ]
(c) Interprete geometricamente os resultados dos dois ítens anteriores.[ 0,4 ponto ]
3. [ 2 pontos ] A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional
à própria massa. A meia-vida T de uma substância como essa é definida como o tempo
transcorrido para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância
radioativa S que cuja meia-vida é de 5.000 anos.
(a) Considere uma massa de m0 = 7 g da substância S. Qual é o tempo transcorrido
para a massa se reduza a 1
8
da inicial? Este tempo depende da massa inicial m0?
Justifique sua resposta. [ 0,2 ponto ]
(b) Determine a função m : [ 0,+∞[→ R que dá a massa da substância S, com massa
inicial m0, em função do tempo medido em anos. [ 0,8 ponto ]
(c) Use as aproximações log
10
(2) ∼= 0, 3 e log10(5) ∼= 0, 7 para determinar uma aproxi-
mação para o tempo gasto para a massa da substância S se reduzir a 10% da inicial.
[ 1 ponto ]
4. [ 2 pontos ] Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C
está entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para
determinar com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;[ 0,5 ponto ]
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;[ 0,5 ponto ]
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;[ 0,5 ponto ]
(d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.[ 0,5 ponto ]
5. [ 2 pontos ] A figura a seguir representa um esboço do gráfico da função g : ]0,+∞[→ R
definida por g(x) = sen (log
10
(x)), feito por um aplicativo computacional. Observe que o
aplicativo não conseguiu desenhar em detalhes o que ocorre perto da origem do sistema de
coordenadas.
2
 
(a) Determine todas as raízes da equação g(x) = 0. É possível determinar a menor raiz?
[ 0,6 ponto ]
(b) Faça um esboço do gráfico de g na janelagráfica 0 < x < 0, 1 e −2 < y < 2.
[ 0,7 ponto ]
(c) Considere um sistema de coordenadas x′y em que o eixo horizontal x′ está em escala
logarítmica decimal (isto é, se x representa um eixo em coordenadas cartesianas
convencionais, então x′ = log
10
x) e o eixo vertical y está em coordenadas cartesianas
convencionais. Faça um esboço do gráfico de g neste sistema, para 10−4 < x < 104
e −2 < y < 2.[ 0,7 ponto ]
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Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 2 GABARITO
22 de junho de 2013
1. Em cada um dos itens abaixo, dê, se possível, um exemplo de um polinômio p(x) satisfa-
zendo todas as condições dadas.
Caso o exemplo não seja possível, justifique a sua resposta.
Lembre-se que se p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn então
p′(x) = a1 + 2a2x+ · · ·+ (n− 1)an−1xn−2 + nanxn−1
(a) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 1 e p(x) é de grau 2.
(b) p(1) = p(−1) = 0 e p′(0) = 1.
(c) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 0 e p(x) é de grau 2.
(d) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 2.
(e) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 3.
Uma solução:
[pontuação total: 2,0]
(a) (0,4 ponto) Como x1 = 1 e x2 = −1 são raízes de p e p é um polinômio de grau 2,
então, pela simetria do gráfico das funções quadráticas, em seu ponto médio, x0 = 0,
deve ocorre um extremo de p. Logo, deve-se ter p′(0) = 0.
Uma outra solução é a seguinte: como p(x) = a(x−1)(x+1) = ax2−a, para algum
a 6= 0, já que x1 = 1 e x2 = −1 são raízes, então p′(x) = 2ax e p′(0) = 0.
Portanto, o exemplo não é possível.
(b) (0,4 ponto) Consideremos, por exemplo, o polinômio de grau 3, p(x) = a x3 + b x2 +
c x + d. Então, p′(x) = 3 a x2 + 2 b x + c. Logo, para satisfazer as condições dadas,
deve-se ter:


a+ b+ c+ d = 0
−a+ b− c+ d = 0
c = 1
Isto é: a = −1, b = −d e c = 1. Portanto, pode-se tomar como exemplo: p(x) =
−x3 + x.
(c) (0,4 ponto) Pelo mesmo argumento do item (a), a condição p′(0) = 0 é corolário da
condição p(1) = p(−1) = 0. Logo, basta garantir que p(1) = p(−1) = 0.
Portanto, pode-se tomar como exemplo: p(x) = x2 − 1.
(d) (0,4 ponto) Consideremos o polinômio de grau 2, p(x) = a x2+b x+c. Para satisfazer
as condições dadas, deve-se ter:


a+ b+ c = 0
a− b+ c = 0
c = 1
4 a+ 2 b+ c = 1
Entretanto, substituindo c = 1 nas duas primeiras equações conclui-se que a = −1 e
b = 0, o que contradiz a última equação. Logo, o sistema não tem soluções.
Portanto, o exemplo não é possível.
(e) (0,4 ponto) Consideremos, por exemplo, o polinômio de grau 3, p(x) = a x3 + b x2 +
c x+ d. Para satisfazer as condições dadas, deve-se ter:


a+ b+ c+ d = 0
−a+ b− c+ d = 0
d = 1
8 a+ 4 b+ 2 c+ d = 1
Substituindo d = 1 nas duas primeiras equações conclui-se que b = −1 e a + c = 0.
Da última equação, segue que a = 2
3
e c = −2
3
.
Portanto, o (único) exemplo possível é: p(x) = 2
3
x3 − x2 − 2
3
x+ 1.
2. Um número real x0 é raiz de multiplicidade k do polinômio p(x) se p(x) = (x− x0)kq(x),
para algum polinômio q(x), com q(x0) 6= 0.
Sugestão para resolver os ítens abaixo: Use o fato de que toda função polinomial é uma
função contínua e que "Se f é uma função real contínua e f(x0) 6= 0, então existe uma
vizinhança de x0 em que f não se anula".
(a) Mostre que x0 é raiz de multiplicidade par de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal
que p(x) não muda de sinal para x pertencente ao conjunto ]x0 − r, x0 + r[ \{x0} =
{x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r, x 6= x0}.
2
(b) Mostre que x0 é raiz de multiplicidade ímpar de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal
que o sinal de p(x) para x ∈ ]x0−r, x0[ é oposto ao sinal de p(x) para x ∈ ]x0, x0+r[ .
(c) Interprete geometricamente os resultados dos dois ítens anteriores.
Uma solução:
[pontuação total: 2,0]
Nesta questão, embora não explicitamente afirmado, deve-se supor, como uma hipótese
global, que x0 é uma raiz de p(x), embora a parte b) possa ser provada sem que isto seja
assumido.
Tem-se que q(x0) 6= 0, digamos q(x0) > 0. Então, existe r > 0 tal que q(x) > 0 ∀ x ∈ I,
em que I é o intervalo ]x0−r, x0+r[ . Como p(x) = (x−x0)k q(x), então p(x) e (x−x0)k
possuem o mesmo sinal em I \ {x0} (se q(x0) < 0, p(x) e (x− x0)k terão sinais opostos
em I \ {x0}, e as conclusões dos itens a seguir valerão com os sinais contrários).
(a) (0,8 ponto) Tem-se que k é par se, e somente se, (x − x0)k > 0, ∀ x ∈ I \ {x0}.
Logo, k é par se, e somente se, p(x) > 0, ∀ x ∈ I \ {x0}.
(b) (0,8 ponto) Tem-se que k é ímpar se, e somente se, (x− x0)k < 0, ∀ x ∈ ]x0− r, x0[
e (x − x0)k > 0, ∀ x ∈ ]x0, x0 + r[ . Logo, k é ímpar se, e somente se, p(x) < 0,
∀ x ∈ ]x0 − r, x0[ e p(x) > 0, ∀ x ∈ ]x0, x0 + r[ .
(c) (0,4 ponto) Geometricamente, tem-se que:
i. se a multiplicidade de x0 é par, então o gráfico de p “toca” o eixo em x0, no sentido
em que, próximo ao ponto (x0, 0), fica no mesmo semi-plano determinado pelo
eixo horizontal;
ii. se a multiplicidade de x0 é ímpar, então o gráfico de p “cruza” o eixo em x0, no
sentido em que, próximo ao ponto (x0, 0), fica em semi-planos opostos determi-
nados pelo eixo horizontal.
3. A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional à própria
massa. A meia-vida T de uma substância como essa é definida como o tempo transcorrido
para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância radioativa S
que cuja meia-vida é de 5.000 anos.
(a) Considere uma massa de m0 = 7 g da substância S. Qual é o tempo transcorrido
para a massa se reduza a 1
8
da inicial? Este tempo depende da massa inicial m0?
Justifique sua resposta.
3
(b) Determine a função m : [ 0,+∞[→ R que dá a massa da substância S, com massa
inicial m0, em função do tempo medido em anos.
(c) Use as aproximações log
10
(2) ∼= 0, 3 e log10(5) ∼= 0, 7 para determinar uma apro-
ximação para o tempo gasto para a massa da substância S se reduzir a 10% da
inicial.
Uma solução:
[pontuação total: 2,0]
(a) (0,2 ponto) Após os primeiros 5.000 anos, a massa será igual m1 = 12 m0. Após mais
5.000 a massa será m2 = 12 m1 =
1
4
m0; e após outros 5.000, esta será m3 = 12 m2 =
1
8
m0. Portanto, são decorridos 15.000 para que a massa se reduza a 18 da inicial.
Independentemente de m0 = 7g ou outro valor, o tempo para que a massa seja
reduzida a 1
8
da inicial será sempre de 15.000 anos.
Como este argumento mostra, devido à definição de meia-vida, a resposta não depende
do valor da massa inicial.
(b) (0,8 ponto) Consideremos uma variável s representando o tempo medido em unidades
de 5.000 anos. Como a cada 5.000 anos, a massa cai a metade, então a massa em
função de s é dada por:
m(s) =
1
2s
m0 .
Se t é uma variável representando o tempo medido em anos, então t = 5.000 s.
Portanto:
m(t) =
1
2t/5.000
m0 .
(c) (1,0 ponto) Devemos resolver a equação m(t) = 1
10
m0, que corresponde a 2t/5.000 =
10. Portanto, temos:
t
5.000
= log
2
10 = 1 + log
2
5 = 1 +
log
10
5
log
10
2
Logo:
t = 5.000
(
1 +
log
10
5
log
10
2
)
≃ 5.000
(
1 +
7
3
)
=
50.000
3
≃ 16.667 anos.
4
4. Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C está entre
B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para determinar
com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;
(d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.
Uma solução:
[pontuação total: 2,0]
Sejam a = BC, b = AC e c = AB.
(a) (0,5 ponto) Pela Lei dos Cossenos, temos: a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(B̂AC). Isto é:
b2 + c2− b c = 1 .
Quaisquer soluções da equação acima satisfazem às condições dadas. Podemos tomar,
por exemplo, os triângulos T1 e T2, como lados dados respectivamente por:
a1 = b1 = c1 = 1 a2 = 1, b2 =
√
3
3
, c2 =
2
√
3
3
Além de terem lados diferentes, estes triângulos possuem, claramente, ângulos dife-
rentes (isto é, não são semelhantes), uma vez que o primeiro é equilátero e o segundo
não.
Portanto, não é possível determinar com certeza as medidas dos lados ou dos ângulos
do triângulo. De fato, o lugar geométrico dos pontos A que satisfazem as condições
dadas formam um arco de círculo (chamado arco capaz). Portanto, há infinitos
triângulos satisfazendo essas condições.
(b) (0,5 ponto) Pela Lei dos Cossenos, temos: c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(B̂CA). Isto é:
c2 = 1 + b2 −
√
2 b .
5
Como no item anterior, quaisquer soluções da equação acima satisfazem às condi-
ções dadas. Podemos tomar, por exemplo, os triângulos T1 e T2, como lados dados
respectivamente por:
a1 = c1 = 1 , b1 =
√
2 a2 = 1, b2 = 2
√
2, c2 =
√
5
De forma análoga ao item anterior, estes triângulos possuem, claramente, ângulos
diferentes (isto é, não são semelhantes), uma vez que o primeiro é isósceles e o
segundo não.
Portanto, não é possível determinar com certeza as medidas dos lados ou dos ângulos
do triângulo. De fato, o lugar geométrico dos pontos A que satisfazem as condições
dadas é a semi-reta ~CA. Portanto, há infinitos triângulos satisfazendo essas condições.
(c) (0,5 ponto) Neste caso, os ângulos do triângulo estão determinados, pois temos:
B̂AC = 60◦ B̂CA = 45◦ ÂBC = 75◦
Pela Lei dos Senos, temos:
sen (B̂AC)
a
=
sen (ÂBC)
b
=
sen (B̂CA)
c
.
Temos que sen (75◦) = sen (45◦+30◦) = sen (45◦) cos(30◦)+cos(45◦) sen (30◦) =√
2
2
√
3
2
+
√
2
2
1
2
=
√
2
4
(
√
3 + 1).
Isto permite determinar também as medidas dos lados dos triângulo:
√
3
2
=
√
2(
√
3 + 1)
4 b
=
√
2
2 c
Portanto:
b =
√
2(
√
3 + 1)
2
√
3
=
√
2(
√
3 + 3)
6
c =
√
2√
3
=
√
6
3
Como as condições dadas nesse item são a união das condições dos itens (a) e (b),
o ponto A que satisfaz essas condições está na interseção dos lugares geométricos
mencionados nos itens (a) e (b) (arco de círculo e semi-reta). Portanto, há um único
triângulo satisfazendo às condições dadas.
(d) (0,5 ponto) Neste caso, os ângulos do triângulo estão determinados, pois temos:
B̂AC = 60◦ B̂CA = 45◦ ÂBC = 75◦
6
Porém como não há nenhuma informação sobre as medidas dos lados, não é possível
determiná-las. De fato, há uma família de triângulos semelhantes que satisfazem as
condições dadas.
5. A figura a seguir representa um esboço do gráfico da função g : ]0,+∞[→ R definida por
g(x) = sen (log
10
(x)), feito por um aplicativo computacional. Observe que o aplicativo não
conseguiu desenhar em detalhes o que ocorre perto da origem do sistema de coordenadas.
 
(a) Determine todas as raízes da equação g(x) = 0. É possível determinar a menor raiz?
(b) Faça um esboço do gráfico de g na janela gráfica 0 < x < 0, 1 e −2 < y < 2.
(c) Considere um sistema de coordenadas x′y em que o eixo horizontal x′ está em escala
logarítmica decimal (isto é, se x representa um eixo em coordenadas cartesianas
convencionais, então x′ = log
10
x) e o eixo vertical y está em coordenadas cartesianas
convencionais. Faça um esboço do gráfico de g neste sistema, para 10−4 < x < 104
e −2 < y < 2.
Uma solução:
[pontuação total: 2,0]
(a) (0,6 ponto) Temos que:
sen (log
10
x) = 0⇔ log
10
x = k π , k ∈ Z⇔ x = 10k pi , k ∈ Z
7
Então, tomando valores negativos de k, obtemos raízes tão próximas de 0 quanto se
queira. Portanto, não existe uma raiz mínima para a equação.
(b) (0,7 ponto) Nesta janela, o gráfico terá o seguinte aspecto:
 
(c) (0,7 ponto) No sistema de variáveis x′y, a equação de g adquire a forma g(x′) =
sen (x). Portanto, neste sistema de eixos o gráfico terá o aspecto de uma curva
senóide. Neste intervalo da variável x, encontram-se as raízes: x1 = 10−pi ≃ 0, 001,
x2 = 1 e x3 = 10pi ≃ 1000.
 
Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 3
06 de julho de 2013
1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando
adequadamente e em detalhes as suas respostas.
(a) (0,5 ponto) Se f : R → R e g : R → R são funções monótonas crescentes, então
a função soma f + g : R → R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) é monótona
crescente.
(b) (0,5 ponto) Se f : R→ R é uma função limitada superiormente, então f admite um
ponto de máximo absoluto.
(c) (0,5 ponto) Se f : R → R admite um ponto de máximo local, então f admite um
ponto de máximo absoluto.
2. (2,0 pontos) Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração
decimal, é possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base
β ∈ N, β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele
é escrito na forma:
a = a0 +
+∞∑
k=1
ak β
−k
em que a0 ∈ Z e os ak são dígitos entre 0 e β − 1 (incluindo-os).
(a) (1,0 ponto) Mostre que, se um número x ∈ R é irracional, então x possui represen-
tação infinita em toda base β.
(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x ∈ R possui representação
infinita em toda base β, então x é irracional.
3. (2,0 pontos) Considere a função p1 : R → R, p1(x) = (x
2
− 1)2. A figura abaixo mostra
o gráfico de uma função p2 : R→ R na forma p2(x) = c p1(a x− b) + d, sendo a, b, c e d
constantes reais. Determine a, b, c e d. Justifique sua resposta.
 
4. (2,0 pontos) Considere as funções u, v : R → R, definidas por u(x) = 2 sen (x) e v(x) =
sen (2x).
(a) (1,0 ponto) Determine o maior e menor valores atingidos por u e v.
(b) (1,0 ponto) Esboce os gráficos de u e de v.
5. (2,5 pontos) Considere a função g : R∗ → R, g(x) = 21−
1
x .
(a) (1,0 ponto) Faça um esboço o gráfico de g.
(b) (0,75 ponto) Determine todas as soluções reais das equações g(x) = 2 e g(x) = 4.
(c) (0,75 ponto) Resolva a inequação g(x) < 4, para x ∈ R.
2
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Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 3 - GABARITO
06 de julho de 2013
1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando
adequadamente e em detalhes as suas respostas.
(a) (0,5 ponto) Se f : R → R e g : R → R são funções monótonas crescentes, então
a função soma f + g : R → R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) é monótona
crescente.
(b) (0,5 ponto) Se f : R→ R é uma função limitada superiormente, então f admite um
ponto de máximo absoluto.
(c) (0,5 ponto) Se f : R → R admite um ponto de máximo local, então f admite um
ponto de máximo absoluto.
2. (2,0 pontos) Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração
decimal, é possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base
β ∈ N, β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele
é escrito na forma:
a = a0 +
+∞∑
k=1
ak β
−k
em que a0 ∈ Z e os ak são dígitos entre 0 e β − 1 (incluindo-os).
(a) (1,0 ponto) Mostre que, se um número x ∈ R é irracional, então x possui represen-
tação infinita em toda base β.
(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x ∈ R possui representação
infinita em toda base β, então x é irracional.
3. (2,0 pontos) Considere a função p1 : R → R, p1(x) = (x
2 − 1)2. A figura abaixo mostra
o gráfico de uma função p2 : R→ R na forma p2(x) = c p1(a x− b) + d, sendo a, b, c e d
constantes reais. Determine a, b, c e d.