Ache todos os números que deixam resto 2, quando divididos por 7, deixam resto 3, quando divididos por 11 e deixam resto 5, quando divididos por 1...

Para encontrar todos os números que deixam resto 2 quando divididos por 7, resto 3 quando divididos por 11 e resto 5 quando divididos por 13, podemos usar o Teorema Chinês dos Restos. Definindo N = 7 x 11 x 13 = 1001, N1 = 11 x 13 = 143, N2 = 7 x 13 = 91 e N3 = 7 x 11 = 77, temos que resolver cada uma das congruências: 143Y ≡ 1 mod 7, 91Y ≡ 1 mod 11 e 77Y ≡ 1 mod 13. Como 143 ≡ 3 mod 7, 91 ≡ 3 mod 11 e 77 ≡ 12 ≡ -1 mod 13, essas congruências são equivalentes às seguintes: 3Y ≡ 1 mod 7, 3Y ≡ 1 mod 11 e Y ≡ -1 mod 13, que possuem as seguintes soluções: y1 = 5, y2 = 4 e y3 = 12. Assim, pelo Teorema Chinês dos Restos, uma solução é dada por x = N1y1 x 2 + N2y2 x 3 + N3y3 x 5 = 1430 + 1092 + 4620 = 7142. Essa solução é única módulo N = 1001. Portanto, todas as soluções são 7142 + t1001, onde t é um número inteiro. A solução positiva mínima é o resto da divisão de 7142 por 1001, que é igual a 135. Portanto, a resposta é 135.