423. Um triângulo acutângulo ABC tem a medida do ângulo  igual a 30º. Sabe-se que os lados adjacentes ao ângulo  medem 3 cm e 4cm. A medida, em c...

Para encontrar a medida do lado oposto ao ângulo Â, podemos utilizar a lei dos senos, que é dada por: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) Onde a, b e c são os lados do triângulo opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Substituindo os valores dados, temos: a/sen(30º) = 4/sen(C) a/0,5 = 4/sen(C) a = 2*4/sen(C) a = 8/sen(C) Agora precisamos encontrar o valor de sen(C). Como o triângulo é acutângulo, temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Como  = 30º, temos que B + C = 150º. Como o triângulo é acutângulo, temos que B e C são agudos, ou seja, menores que 90º. Portanto, temos que B e C são menores que 120º. Como a soma de B e C é igual a 150º, temos que B e C são menores que 75º. Como o triângulo é acutângulo, temos que todos os ângulos são menores que 90º. Portanto, temos que C é menor que 60º. Como sen(C) é uma função crescente no intervalo [0º, 90º], temos que o maior valor de sen(C) ocorre quando C = 60º. Portanto, temos: sen(60º) = √3/2 Substituindo na equação que encontramos para a, temos: a = 8/(√3/2) a = 16/√3 Multiplicando o numerador e o denominador por √3, temos: a = 16√3/3 Portanto, a medida, em cm, do lado oposto ao ângulo  é igual a 16√3/3, que corresponde à alternativa c).