UECE Resolva a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 2π]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a: a) 4π b) 3π c) 2π d) π...

Vamos lá! Primeiro, vamos simplificar a equação utilizando as identidades trigonométricas: tg²x + sen²x = 3cos²x Substituindo a identidade tg²x = sec²x - 1: sec²x - 1 + sen²x = 3cos²x Substituindo a identidade sec²x = 1/cos²x: 1/cos²x - 1 + sen²x = 3cos²x Multiplicando tudo por cos²x: 1 - cos²x + sen²x.cos²x = 3cos⁴x Substituindo a identidade sen²x = 1 - cos²x: 1 - cos²x + cos²x - cos⁴x = 3cos⁴x Simplificando: 4cos⁴x - 2cos²x - 1 = 0 Agora, podemos fazer a substituição y = cos²x: 4y² - 2y - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau: y = (2 ± √8)/4 y = (1 ± √2)/2 Substituindo y = cos²x: cos²x = (1 ± √2)/2 Temos duas soluções para cos²x: cos²x = (1 + √2)/2 ou cos²x = (1 - √2)/2 Para a primeira solução, temos: cosx = ±√[(1 + √2)/2] x = arccos(±√[(1 + √2)/2]) Para a segunda solução, temos: cosx = ±√[(1 - √2)/2] x = arccos(±√[(1 - √2)/2]) Lembrando que o intervalo é [0, 2π], temos que descartar as soluções negativas e repetidas. Portanto, as soluções são: x = arccos(√[(1 + √2)/2]) e x = arccos(-√[(1 - √2)/2]) A soma dessas raízes é: x1 + x2 = arccos(√[(1 + √2)/2]) + arccos(-√[(1 - √2)/2]) x1 + x2 = π/4 + 3π/4 x1 + x2 = π Portanto, a alternativa correta é a letra d) π.