Vamos resolver a equação \( \tan(2x) + \sin(2x) = 3\cos(2x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Primeiro, vamos reescrever a equação usando a relação \( \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \): \[ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} + \sin(2x) = 3\cos(2x) \] Multiplicando toda a equação por \( \cos(2x) \) (desde que \( \cos(2x) \neq 0 \)): \[ \sin(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\cos^2(2x) \] Agora, vamos reorganizar a equação: \[ \sin(2x)(1 + \cos(2x)) = 3\cos^2(2x) \] Agora, podemos analisar as possíveis soluções: 1. Caso 1: \( \sin(2x) = 0 \) - Isso ocorre quando \( 2x = n\pi \), onde \( n \) é um inteiro. Portanto, \( x = \frac{n\pi}{2} \). - No intervalo \( [0, 2\pi] \), temos \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \). 2. Caso 2: \( 1 + \cos(2x) = 0 \) - Isso implica que \( \cos(2x) = -1 \), ou seja, \( 2x = (2n + 1)\pi \). - Portanto, \( x = \frac{(2n + 1)\pi}{2} \). - No intervalo \( [0, 2\pi] \), temos \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \). Agora, vamos juntar as soluções: - As soluções de \( \sin(2x) = 0 \) são: \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \). - As soluções de \( 1 + \cos(2x) = 0 \) são: \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \) (já contadas). Assim, as raízes distintas são: \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \). Agora, vamos somar todas as raízes: \[ 0 + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 0 + \frac{6\pi}{2} = 3\pi \] Portanto, a soma de todas as raízes no intervalo \( [0, 2\pi] \) é igual a \( 3\pi \). A alternativa correta é: b) 3π.