33. Fatec-SP Sabe-se que o polinômio P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 é divisível pelo polinômio Q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1. Sobre as raízes de...
a) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais.
b) as cinco são reais e de multiplicidade 1.
c) três são iguais a – 1 e as duas outras são reais e distintas.
d) as cinco são reais e iguais.
e) 1 é raiz de multiplicidade 2 e –1 é raiz de multiplicidade 3.
a) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais.
b) as cinco são reais e de multiplicidade 1.
c) três são iguais a – 1 e as duas outras são reais e distintas.
d) as cinco são reais e iguais.
e) 1 é raiz de multiplicidade 2 e –1 é raiz de multiplicidade 3.
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💡 1 Resposta
Ed 
Para que o polinômio P(x) seja divisível pelo polinômio Q(x), as raízes de Q(x) devem ser raízes de P(x). O polinômio Q(x) tem raízes complexas conjugadas, que são soluções da equação x³ + 3x² + 3x + 1 = 0. Essas raízes são iguais a -1 - i, -1 + i e -1. Como P(x) é um polinômio de grau 5, ele tem 5 raízes. Como Q(x) tem 3 raízes, duas delas devem ser raízes de P(x). Além disso, como P(x) tem coeficientes reais, as raízes complexas devem ser conjugadas. Portanto, as duas raízes complexas de P(x) são -1 - i e -1 + i, e as outras três raízes são reais. Assim, a alternativa correta é a letra A) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais.
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