51. UFF-RJ A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retangulo ABC. Tem-se que: – A soma das áreas dos três círculos é 6...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades dos triângulos retângulos e dos círculos. Primeiramente, podemos observar que o segmento BT é a altura do triângulo ABC em relação à hipotenusa AC. Como os círculos são tangentes a esse segmento, eles também são tangentes à hipotenusa. Portanto, podemos traçar as retas PT, QT e RT, que são perpendiculares à hipotenusa e passam pelos centros dos círculos. Em seguida, podemos observar que os triângulos PBT, QBT e RBT são semelhantes ao triângulo ABC, pois possuem um ângulo reto em B e os ângulos em P, Q e R são iguais aos ângulos em A, C e B, respectivamente. Além disso, a razão entre os lados desses triângulos é a mesma, pois os círculos são idênticos. Portanto, temos: PT = PB = QB = QT = RB = RT = r (raio dos círculos) BT = h (altura do triângulo em relação à hipotenusa) BC = a (cateto oposto ao ângulo em B) AC = c (hipotenusa) Assim, podemos escrever as seguintes equações: a = PT + QT c = a + h Além disso, sabemos que a soma das áreas dos três círculos é 6π cm². Como os círculos são idênticos, cada um tem área 2π cm². Portanto, temos: 3 * 2π = 6π = πr² r = √2 Agora podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC: a² + h² = c² Substituindo as equações anteriores, temos: (a + PT + QT)² + h² = (a + h)² a² + 2a(PT + QT) + (PT + QT)² + h² = a² + 2ah + h² 2a(PT + QT) + (PT + QT)² = 2ah (PT + QT)(2a + PT + QT) = 2ah r(2a + 2r) = 2ah 2a + 2√2 = 2h a + √2 = h Substituindo o valor de r, temos: a + √2 = h a + √2 = c - a 2a + √2 = c a = (c - √2)/2 Portanto, a medida do segmento BC é: BC = a = (c - √2)/2 Substituindo o valor de c pelo Teorema de Pitágoras, temos: c² = a² + h² c² = a² + (a + √2)² c² = a² + a² + 2a√2 + 2 c² = 2a² + 2a√2 + 2 (c - √2)² = 4a² + 4a√2 + 2 c² - 2√2c + 2 = 4a² + 4a√2 + 2 c² - 2√2c = 4a² + 4a√2 (c - √2)² - 2 = 4a² + 4a√2 (c - √2)² = 4a² + 4a√2 + 2 (c - √2)² = 2(2a² + 2a√2 + 1) (c - √2)² = 2(2a + √2)² c - √2 = ±√2(2a + √2) c = √2(2a + √2) ± √2 Como c é a hipotenusa do triângulo ABC, ela deve ser maior que BC. Portanto, a solução correta é: BC = a = (c - √2)/2 c = √2(2a + √2) + √2 c = √2(2a + 2√2) c = 2√2(a + √2) c > BC Substituindo o valor de a, temos: BC = (c - √2)/2 c > (c - √2)/2 c > √2/2 c > 0,707 Portanto, a medida do segmento BC é (c - √2)/2 e a hipotenusa c deve ser maior que 0,707.