U. F. Santa Maria-RS Na figura, a reta r passa pelos pontos O e A, e a reta s é perpendicular à reta r pelo ponto A. Sendo D = (p, 0) o ponto méd...

Para encontrar a área do polígono determinado pelos pontos O, D, B e A, precisamos primeiro encontrar as coordenadas dos pontos D e B. Sabemos que D é o ponto médio entre os pontos (1, 0) e C, então podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar a coordenada p de D: (p, 0) = ((1 + xC)/2, (0 + yC)/2) Simplificando, temos: p = (1 + xC)/2 A reta s é perpendicular à reta r pelo ponto A, então podemos usar a equação da reta r para encontrar as coordenadas de A: y = mx + b 0 = m(1) + b b = -m Agora sabemos que a equação da reta r é: y = mx - m A reta s é perpendicular à reta r, então seu coeficiente angular é o inverso negativo do coeficiente angular de r: ms = -1/mr Sabemos que a reta s passa pelo ponto A, então podemos usar a equação da reta s para encontrar suas coordenadas: y - yA = ms(x - xA) y - yA = -1/mr(x - 1) Substituindo y por mx - m, temos: mx - m - yA = -1/mr(x - 1) Simplificando, temos: mx - yA = -1/mr(x - 1) + m Resolvendo para x, temos: x = (myA + m^2 - 1)/(m^2 + 1) Substituindo x em mx - m - yA = -1/mr(x - 1), temos: m(myA + m^2 - 1)/(m^2 + 1) - m - yA = -1/mr(myA + m^2 - m^2 - 1)/(m^2 + 1) + m Simplificando, temos: m(myA - 1)/(m^2 + 1) - yA = -1/mr(1 - myA)/(m^2 + 1) Resolvendo para yA, temos: yA = (m^2 + 1)/(2m) Agora podemos encontrar as coordenadas de D: (p, 0) = ((1 + xC)/2, (0 + yC)/2) (p, 0) = ((1 + xC)/2, (0 + (mA + b))/2) Substituindo xC e yC por suas respectivas equações, temos: (p, 0) = ((1 + (myA + m^2 - 1)/(m^2 + 1))/2, (0 + (mA + b))/2) Simplificando, temos: (p, 0) = ((m^2 + 2myA)/(2m^2 + 2), (m^2 + 2m)/(2m^2 + 2)) Agora podemos encontrar as coordenadas de B: yB = mxB - m Substituindo xB por sua respectiva equação, temos: yB = m(myA + m^2 - 1)/(m^2 + 1) - m Simplificando, temos: yB = (m^3 - m)/(m^2 + 1) Agora podemos encontrar a área do polígono determinado pelos pontos O, D, B e A usando a fórmula da área do trapézio: Area = ((yA + yB)/2) * (xA - xD) Substituindo as coordenadas que encontramos, temos: Area = ((m^2 + 1)/(4m) + (m^3 - m)/(2(m^2 + 1))) * ((myA + m^2 - 1)/(m^2 + 1) - (m^2 + 2myA)/(2m^2 + 2)) Simplificando, temos: Area = (m^2 - 1)/(4m) A alternativa correta é a letra B) 1.