ITA-SP Seja P(x) um polinômio divisível por x – 1. Dividindo-o por x2 + x, obtêm-se o quociente Q(x) = x2 – 3 e o resto R(x). Se R(4) = 10, então o...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x-a) é igual a P(a). No caso, temos que P(x) é divisível por x-1, então podemos escrever P(x) como (x-1)Q(x), onde Q(x) é um polinômio qualquer. Dividindo P(x) por x²+x, temos: (x-1)Q(x) = (x²+x)·T(x) + R(x) Onde T(x) é o quociente da divisão e R(x) é o resto. Sabemos que o quociente é Q(x) = x²-3, então: (x-1)Q(x) = (x²+x)·T(x) + R(x) (x-1)(x²-3) = (x²+x)·T(x) + R(x) x³-4x²-2x+3 = (x²+x)·T(x) + R(x) Agora, podemos utilizar o Teorema do Resto para encontrar R(4): R(4) = 4³-4·4²-2·4+3 R(4) = 64-64-8+3 R(4) = -5 Sabemos que o coeficiente do termo de grau 1 de P(x) é igual a -R(1), já que P(x) é divisível por x-1. Portanto: Coeficiente do termo de grau 1 de P(x) = -R(1) Mas como R(x) é o resto da divisão de P(x) por x²+x, podemos escrever: R(x) = P(x) - (x²+x)·T(x) Substituindo x=1, temos: R(1) = P(1) - (1²+1)·T(1) R(1) = P(1) - 2·T(1) Mas sabemos que R(1) = 0, já que P(x) é divisível por x-1. Portanto: 0 = P(1) - 2·T(1) P(1) = 2·T(1) Agora, precisamos encontrar T(1). Para isso, podemos utilizar a igualdade que encontramos anteriormente: x³-4x²-2x+3 = (x²+x)·T(x) + R(x) Substituindo x=1 e R(1)=0, temos: 1³-4·1²-2·1+3 = (1²+1)·T(1) -2 = 2·T(1) T(1) = -1 Portanto, P(1) = 2·T(1) = -2. Como o coeficiente do termo de grau 1 de P(x) é igual a -R(1), temos: Coeficiente do termo de grau 1 de P(x) = -R(1) = -(-5) = 5 Portanto, a alternativa correta é a letra A) -5.