Determine o domı́nio e a imagem da função f (z)= z3+ iz−2 / z4−16. Se c = 0, a equação f (z) = c equivale à equação p(z) = z3 + iz − 2 = 0 ...
Determine o domı́nio e a imagem da função f (z)= z3+ iz−2 / z4−16.
Se c = 0, a equação f (z) = c equivale à equação p(z) = z3 + iz − 2 = 0 que, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, possui solução.
Se c ≠ 0, a equação f (z) = c equivale à equação z4− 1/c (z3+iz−2)−16= 0 que também possui solução pelo Teorema Fundamental da Álgebra.
Além disso, nenhuma das raı́zes α dessa equação é raiz de z4−16= 0, senão terı́amos 0= 0−1/c(α3+ iα−2)⇒ α3+ iα−2, ou seja, α é raiz de p(z). Mas isto não pode ocorrer, pois vimos que p(z) e q(z) = z4−16 não possuem raı́zes comuns.
Portanto, se c ∈ C, então f (z) = c possui solução em Dom( f ), ou seja, Im( f ) = C.
Se c = 0, a equação f (z) = c equivale à equação p(z) = z3 + iz − 2 = 0 que, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, possui solução.
Se c ≠ 0, a equação f (z) = c equivale à equação z4− 1/c (z3+iz−2)−16= 0 que também possui solução pelo Teorema Fundamental da Álgebra.
Além disso, nenhuma das raı́zes α dessa equação é raiz de z4−16= 0, senão terı́amos 0= 0−1/c(α3+ iα−2)⇒ α3+ iα−2, ou seja, α é raiz de p(z). Mas isto não pode ocorrer, pois vimos que p(z) e q(z) = z4−16 não possuem raı́zes comuns.
Portanto, se c ∈ C, então f (z) = c possui solução em Dom( f ), ou seja, Im( f ) = C.
💡 1 Resposta
Ed 
Para determinar o domínio da função f(z), precisamos encontrar os valores de z que tornam o denominador igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida. Assim, temos: z^4 - 16 = 0 (z^2 + 4)(z^2 - 4) = 0 (z + 2i)(z - 2i)(z + 2)(z - 2) = 0 Portanto, o domínio de f(z) é o conjunto de todos os números complexos, exceto 2i, -2i, 2 e -2. Para encontrar a imagem de f(z), observe que a função é uma razão de polinômios de grau 3 e 4, respectivamente. Além disso, a função é contínua em seu domínio. Portanto, a imagem de f(z) é o conjunto de todos os números complexos, ou seja, Im(f) = C.
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