As equações Bx3 – x2 – x – (B – 3) = 0 e Bx2 – x – (B – 3) = 0 (B ∈ |R e B ≠ 0) possuem uma raiz comum: a) somente se B = –5 b) qualquer que seja ...

Para que as equações Bx3 – x2 – x – (B – 3) = 0 e Bx2 – x – (B – 3) = 0 possuam uma raiz comum, é necessário que elas sejam múltiplas uma da outra. Podemos verificar que a segunda equação é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida por meio da fórmula de Bhaskara. Aplicando a fórmula de Bhaskara na segunda equação, temos: x = [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2B Para que as equações tenham uma raiz comum, essa raiz deve ser uma raiz da primeira equação também. Portanto, substituindo x na primeira equação, temos: B[1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2B)^3 - [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2B)^2 - [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2B - (B – 3) = 0 Simplificando a expressão, temos: [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2 - [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/4 - [1 ± √(1 + 4B²(B-3))]/2 - (B – 3)/B = 0 Multiplicando toda a equação por 4B, temos: 2[1 ± √(1 + 4B²(B-3))] - [1 ± √(1 + 4B²(B-3))] - 4[1 ± √(1 + 4B²(B-3))] - 4(B – 3)/B = 0 Simplificando a expressão, temos: [1 ± √(1 + 4B²(B-3))] - 4(B – 3)/B = 0 Resolvendo a equação acima, encontramos duas raízes para B: B = -5 e B = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c) somente se B = 4.