Seja x ∈ R. Julgue os itens abaixo. ( ) tg2 x . sen2 x = tg2x – sen2 x ( ) (1 + tg2x)(1 – sen2x) = 1 ( ) senx/x . cossecx – 1 = cossecx/x . senx ( ...

Vamos analisar cada item: I. tg²x . sen²x = tg²x - sen²x Podemos reescrever a identidade trigonométrica tg²x = sen²x/cos²x e substituir na equação: sen²x/cos²x . sen²x = sen²x/cos²x - sen²x Multiplicando ambos os lados por cos²x, temos: sen²x . sen²x = sen²x - sen²x . cos²x sen⁴x = sen²x . (1 - cos²x) sen⁴x = sen²x . sen²x sen⁴x = (sen²x)² Portanto, a afirmação é verdadeira. II. (1 + tg²x)(1 - sen²x) = 1 Podemos reescrever a identidade trigonométrica tg²x = sen²x/cos²x e substituir na equação: (1 + sen²x/cos²x)(1 - sen²x) = 1 Multiplicando ambos os lados por cos²x, temos: cos²x + sen²x - sen²x . cos²x = cos²x cos²x + sen²x(1 - cos²x) = cos²x sen²x . cos²x = sen²x . sen²x cos²x = sen²x Isso não é verdadeiro para todos os valores de x, portanto, a afirmação é falsa. III. senx/x . cossecx - 1 = cossecx/x . senx Podemos reescrever a identidade trigonométrica cossecx = 1/senx e substituir na equação: senx/x . (1/senx - 1) = (1/senx) . senx/x 1 - x/senx = 1 x/senx = 0 Isso é verdadeiro apenas para x = 0, portanto, a afirmação é falsa. IV. tg²x + 1 = sec²x Podemos reescrever a identidade trigonométrica sec²x = 1/cos²x e substituir na equação: tg²x + 1 = 1/cos²x tg²x = 1/cos²x - 1 tg²x = (1 - cos²x)/cos²x tg²x = sen²x/cos²x tg²x = tg²x Portanto, a afirmação é verdadeira. V. tg²x = (1 - cosx)/(1 + cosx) Podemos reescrever a identidade trigonométrica tgx = senx/cosx e substituir na equação: (senx/cosx)² = (1 - cosx)/(1 + cosx) sen²x/cos²x = (1 - cosx)/(1 + cosx) sen²x = cos²x . (1 - cosx)/(1 + cosx) sen²x = cos²x . [(1 + cosx - 2cosx)/(1 + cosx)] sen²x = cos²x . [(1 + cosx)/(1 + cosx)] - cos²x . [(2cosx)/(1 + cosx)] sen²x = cos²x - 2cos²x . sen²x/(1 + cosx) sen²x + 2cos²x . sen²x/(1 + cosx) = cos²x sen²x(1 + 2cos²x/(1 + cosx)) = cos²x sen²x = cos²x . (1 + cosx)/(1 + 2cos²x) Podemos reescrever a identidade trigonométrica cos²x = 1 - sen²x e substituir na equação: sen²x = (1 - sen²x) . (1 + cosx)/(1 + 2(1 - sen²x)) sen²x = (1 - sen²x) . (1 + cosx)/(3 - 2sen²x) sen²x(3 - 2sen²x) = (1 - sen²x)(1 + cosx) 3sen²x - 2sen⁴x = 1 + cosx - cosx . sen²x - sen²x 2sen⁴x - 3sen²x + 1 = 0 Podemos reescrever a equação como uma equação quadrática em sen²x: 2t² - 3t + 1 = 0, onde t = sen²x Resolvendo a equação quadrática, temos: t = sen²x = 1 ou t = sen²x = 1/2 Se sen²x = 1, então cos²x = 0 e tgx é indefinido. Portanto, essa opção é falsa. Se sen²x = 1/2, então cos²x = 1/2 e tgx = senx/cosx = ±√2. Portanto, essa opção é falsa. Logo, a afirmação é falsa. Portanto, a alternativa correta é a letra b) I, II e IV são verdadeiras.