13. UFGO Seja k um número real. Considerando-se o sistema linear nas variáveis x e y, dado por 4kx + (k – 1)y = 1 k3x + (k – 1)y = 2, julgue os ite...

Vamos analisar cada item: - ( ) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3. Para verificar se essa solução é válida, basta substituir os valores de x e y na equação e verificar se as igualdades são verdadeiras. Nesse caso, temos: 4k(0) + (k - 1)(3) = 1 k = 1 k3(0) + (1 - 1)(3) = 2 0 = 2 (essa igualdade é falsa) Portanto, essa afirmação é falsa. - ( ) se k = –2, o sistema não tem solução. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, basta substituir k = -2 nas equações e verificar se o sistema não tem solução. Nesse caso, temos: 4(-2)x + (-2 - 1)y = 1 -8x - 3y = 1 -6x - 3y = 2 Multiplicando a primeira equação por -2, temos: 16x + 6y = -2 -6x - 3y = 2 Somando as duas equações, temos: 10x = 0 x = 0 Substituindo x = 0 na segunda equação, temos: -3y = 2 y = -2/3 Portanto, o sistema tem solução e essa afirmação é falsa. - ( ) se k = 2, o sistema tem infinitas soluções. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, basta substituir k = 2 nas equações e verificar se o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso, temos: 4(2)x + (2 - 1)y = 1 8x + y = 1 2³x + (2 - 1)y = 2 8x + y = 2 As duas equações são iguais, portanto, o sistema tem infinitas soluções e essa afirmação é verdadeira. - ( ) existem infinitos valores de k, para os quais o sistema possui solução única. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, precisamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Se o determinante for diferente de zero, o sistema terá solução única. Caso contrário, terá infinitas soluções ou não terá solução. O determinante da matriz dos coeficientes é: 4k k - 1 k³ k - 1 Calculando o determinante, temos: (4k)(k - 1) - (k - 1)(k³) = 0 (k - 1)(4k - k³) = 0 k(k - 2)(k + 1) = 0 Portanto, o sistema tem solução única para k = 1 e essa afirmação é falsa. Respostas: ( ) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3. - Falsa ( ) se k = –2, o sistema não tem solução. - Falsa ( ) se k = 2, o sistema tem infinitas soluções. - Verdadeira ( ) existem infinitos valores de k, para os quais o sistema possui solução única. - Falsa