59. PUC-SP Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um quadrado tais que A = (1; 3), B e D pertencem à reta de equação x – y – 4 = 0. A área desse...

Para encontrar a área do quadrado, precisamos encontrar a distância entre os pontos A e B (ou A e D), que é igual ao comprimento do lado do quadrado. Em seguida, elevamos esse valor ao quadrado para obter a área. Como B e D pertencem à reta x - y - 4 = 0, podemos escrever suas coordenadas como (x, y) = (t, t - 4) ou (x, y) = (-t, -t + 4), onde t é um número real. Usando a coordenada de A, podemos encontrar a distância entre A e B (ou A e D): d = sqrt((t - 1)^2 + (t - 7)^2) ou d = sqrt((-t - 1)^2 + (-t + 1)^2) Para encontrar o valor de t, podemos igualar as duas equações acima e resolver para t: (t - 1)^2 + (t - 7)^2 = (-t - 1)^2 + (-t + 1)^2 2t^2 - 16t + 50 = 0 t^2 - 8t + 25 = 0 (t - 5)^2 = 0 t = 5 Portanto, as coordenadas de B e D são (5, 1) e (-5, 3), respectivamente. A distância entre A e B (ou A e D) é: d = sqrt((5 - 1)^2 + (1 - 3)^2) = 4 * sqrt(2) Assim, a área do quadrado é: A = (4 * sqrt(2))^2 = 32 Portanto, a alternativa correta é a letra d) 32.