Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear λx + y + z = λ + 2, x + λy + z = λ + 2 e x + y + λz = λ + 2. a) Ache as raízes da equa...

a) Para encontrar as raízes da equação detA = 0, precisamos calcular o determinante da matriz A e igualá-lo a zero. Temos: | λ 1 1 | | 1 λ 1 | = λ³ - 6λ² + 9λ = λ(λ-3)³ | 1 1 λ | Portanto, as raízes da equação são λ = 0 e λ = 3. b) Para λ = -2, precisamos resolver o sistema linear dado. Podemos fazer isso encontrando a matriz inversa de A e multiplicando-a pelo vetor coluna B = [λ+2, λ+2, λ+2]. Temos: A = | -2 1 1 | | 1 -2 1 | | 1 1 -2 | detA = -12 ≠ 0, portanto, A é invertível. Podemos encontrar a matriz inversa de A usando o método de eliminação de Gauss-Jordan: | -2 1 1 | 1 0 0 | | 1 -2 1 | 0 1 0 | | 1 1 -2 | 0 0 1 | | 1 -1/2 -1/2 | -1/2 1/2 1/2 | | 0 -3/2 3/2 | 1/2 -1/2 1/2 | | 0 3/2 -3/2 | 1/2 1/2 -1/2 | | 1 0 -1 | -1/3 -1/3 -1/3 | | 0 1 -1 | -1/6 5/6 -1/6 | | 0 0 0 | 1/2 1/2 1/2 | Portanto, a matriz inversa de A é: A^-1 = | -1/3 -1/3 -1/3 | | -1/6 5/6 -1/6 | | 1/2 1/2 1/2 | Multiplicando A^-1 por B, obtemos a solução geral do sistema para λ = -2: | -1/3 -1/3 -1/3 | | 0 | | -1/6 5/6 -1/6 | |-4 | | 1/2 1/2 1/2 | |-4 | x = -1/3(0) - 1/3(-4) - 1/3(-4) = 4/3 y = -1/6(0) + 5/6(-4) - 1/6(-4) = -3 z = 1/2(0) + 1/2(-4) + 1/2(-4) = -4 Portanto, a solução geral do sistema para λ = -2 é x = 4/3 - y - z, y = -3 e z = -4.