As equações Bx3 – x2 – x – (B – 3) = 0 e Bx2 – x – (B – 3) = 0 (B ∈ |R e B ≠ 0) possuem uma raiz comum: a) somente se B = –5 b) qualquer que seja...

Para que as equações Bx3 – x2 – x – (B – 3) = 0 e Bx2 – x – (B – 3) = 0 possuam uma raiz comum, é necessário que elas sejam múltiplas uma da outra. Podemos verificar que a segunda equação é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida por Bhaskara. Após a resolução, obtemos as raízes: x1 = (1 + √(1 + 4B²(B-3))) / 2B x2 = (1 - √(1 + 4B²(B-3))) / 2B Para que as equações tenham uma raiz comum, a equação do terceiro grau deve ter uma raiz dupla. Isso significa que a equação do terceiro grau deve ter uma raiz em comum com a equação do segundo grau e essa raiz deve ser uma raiz dupla. Podemos verificar que a equação do terceiro grau pode ser reescrita como: Bx3 – x2 – x + 3B - 3 = Bx2 - x - (B - 3) Simplificando, temos: Bx3 - 2x2 + (B - 2)x - 6 = 0 Se a equação do terceiro grau tem uma raiz dupla, então a sua derivada também deve ter essa raiz. A derivada da equação do terceiro grau é: 3Bx2 - 4x + (B - 2) Substituindo x pela raiz da equação do segundo grau, temos: 3B[(1 + √(1 + 4B²(B-3))) / 2B]² - 4[(1 + √(1 + 4B²(B-3))) / 2B] + (B - 2) Simplificando, temos: (3B² - 2B - 4 + 3√(1 + 4B²(B-3))) / 2B² Para que essa expressão seja igual a zero, temos: 3B² - 2B - 4 + 3√(1 + 4B²(B-3)) = 0 Podemos verificar que a única solução real para essa equação é B = -5. Portanto, a alternativa correta é a letra a) somente se B = –5.