Sendo dado ∏n (2, 4, 6, 8, …, 2n) = an e ∏n (2, 3, 4, …, 2n) = bn, então, ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] é igual a: a) an - 2bn b) 2an - bn...

Para resolver essa questão, vamos analisar cada termo da soma: Quando n = 1, temos: (-1)^(1+1) * ∏i=1^1 (2i) = 2 Quando n = 2, temos: (-1)^(2+1) * ∏i=1^2 (2i) = -8 Quando n = 3, temos: (-1)^(3+1) * ∏i=1^3 (2i) = 48 Quando n = 4, temos: (-1)^(4+1) * ∏i=1^4 (2i) = -384 Podemos notar que os termos pares da soma são negativos e os termos ímpares são positivos. Além disso, o valor absoluto de cada termo é uma potência de 2 multiplicada por um fator que depende de n. Assim, podemos escrever a soma como: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 - 8 + 48 - 384 + ... + (-1)^(2n+1) * ∏i=1^(n+1) (2i) Podemos reescrever cada termo da soma como: (-1)^(n+1) * ∏i=1^(n+1) (2i) = (-1)^(n+1) * 2^(n+1) * ∏i=1^(n+1) (i) Podemos calcular ∏i=1^(n+1) (i) usando a fórmula para o produto dos n primeiros números inteiros positivos: ∏i=1^n (i) = n! Assim, temos: (-1)^(n+1) * ∏i=1^(n+1) (2i) = (-1)^(n+1) * 2^(n+1) * (n+1)! Substituindo na soma, temos: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 - 8 + 48 - 384 + ... + (-1)^(2n+1) * (-1)^(n+1) * 2^(n+1) * (n+1)! Podemos simplificar (-1)^(2n+1) * (-1)^(n+1) para (-1), e agrupar os termos com 2^(n+1) e os termos com (n+1)!, obtendo: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 + 2*2^2*(2!) - 2*2^3*(3!) - 2*2^4*(4!) + ... + (-1)^n * 2^(n+1) * (n+1)! Podemos fatorar 2^(n+1) e (n+1)!: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 + 4*(2!) - 8*(3!) - 16*(4!) + ... + (-1)^n * 2 * (n+1) * 2^n * n! Podemos reescrever 2 * (n+1) * 2^n * n! como 2^(n+1) * (n+1)!, obtendo: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 + 4*(2!) - 8*(3!) - 16*(4!) + ... + (-1)^n * 2^(n+1) * (n+1)! Podemos agora substituir an e bn pelos valores dados na questão: an = 2 * 4 * 6 * ... * 2n = 2^n * n! bn = 2 * 3 * 4 * ... * 2n = 2^(n+1) * n! Substituindo na soma, temos: ∑n=1^(2n) [(-1)^(n+1) * ∏i=1^n (2i)] = 2 + 4*(2!) - 8*(3!) - 16*(4!) + ... + (-1)^n * 2^(n+1) * (n+1)! = 2 - 2*2^n*n! - 2*2^(n+1)*n! + 2^(n+1)*(n+1)! = 2*(an - 2bn) Portanto, a alternativa correta é a letra A) an - 2bn.