38. UFRS As medidas do lado, do perímetro e da área de um triângulo eqüilátero são, nessa ordem, números em progressão aritmética. A razão dessa pr...

Sejam a, P e A as medidas do lado, do perímetro e da área de um triângulo equilátero, respectivamente. Sabemos que a área de um triângulo equilátero é A = (a²√3)/4 e que o perímetro é P = 3a. Como as medidas são números em progressão aritmética, temos que: P - a = a - A Substituindo P e A pelas fórmulas acima, temos: 3a - a = a²√3/4 - a Simplificando, temos: 2a = a²√3/4 a(2 - a√3/4) = 0 Como a ≠ 0, temos: 2 - a√3/4 = 0 a√3 = 8 a = 8/√3 A razão da progressão aritmética é: P - a = a - A 3a - a = a²√3/4 - a 2a = a²√3/4 8/√3 = a a = 8/√3 P - a = 3a - a = 2a A - P = (a²√3)/4 - 3a A - P = (8²/3)/4 - 3(8/√3) A - P = 64/3√3 - 24/√3 A - P = (64 - 72)/3√3 A - P = -8/3√3 Logo, a razão da progressão aritmética é: 2a/(A - P) = 2(8/√3)/(-8/3√3) = -6 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 40.