Considere o conjunto formado pelos vetores v 1 = ( 1 , − 3 , 4 ) , v 2 = ( 3 , 2 , 1 ) e v 3 = ( 1 , − 1 , 2 ) . De acordo com este con...

Podemos analisar as afirmativas uma a uma: I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, são linearmente dependentes. Assim, temos: | 1 3 1 | |-3 2 -1 | | 4 1 2 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: det = 1 * (2 - (-1)) - 3 * (1 - (-4)) + 1 * (-6 - (-3)) det = 3 Como o determinante é diferente de zero, os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. Portanto, a afirmativa I é verdadeira (V). II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. Como vimos no item anterior, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a afirmativa II é falsa (F). III. O conjunto {v1, v2, v3} forma uma base para o R3. Para que um conjunto de vetores seja uma base para o R3, ele precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço R3. Como vimos no item I, os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. Além disso, podemos verificar que qualquer vetor do R3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Portanto, o conjunto {v1, v2, v3} forma uma base para o R3. Assim, a afirmativa III é verdadeira (V). Respostas: I. V II. F III. V