3) Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli: y' + x/y = 1/xy–2. A) B) C) D) E)

Para fazer a mudança de variável na equação de Bernoulli, devemos utilizar a substituição w = y^(1-2), que nos leva a: w' + (1-2)xw = 1/(x^(1-2)) Essa é uma equação linear de primeira ordem, que pode ser resolvida utilizando o fator integrante e^(int(1-2 dx)) = e^(-x^2/2). Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, temos: e^(-x^2/2)w' + (1-2)x e^(-x^2/2)w = e^(-x^2/2) / (x^(1-2)) Agora, podemos aplicar a regra do produto da derivada de um produto para obter: (d/dx)(e^(-x^2/2)w) = e^(-x^2/2) / (x^(1-2)) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: e^(-x^2/2)w = ∫ e^(-x^2/2) / (x^(1-2)) dx Infelizmente, a integral do lado direito não pode ser resolvida em termos de funções elementares, então a solução final será dada em termos da integral indefinida. Portanto, a resposta correta é a alternativa B).