Uma caixa é feita de pedaços quadrados de papelão com 6 cm por 10 cm. A) Determine um modelo para V como função de X. B) Encontre o domínio de V. C...

A) O volume da caixa é dado por V(x) = x(6-2x)(10-2x), onde x é o comprimento do lado do quadrado que é cortado de cada canto do papelão. B) O domínio de V é [0, 3], já que o comprimento do lado do quadrado cortado não pode ser maior que 3 cm, caso contrário, não haverá papelão suficiente para formar a caixa. C) Usando o gráfico de V, podemos estimar que a imagem de V é de aproximadamente 144 cm³. D) Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, podemos derivar V em relação a x, igualar a zero e resolver para x. Temos V'(x) = -4x² + 32x - 60 e V''(x) = -8x + 32. Igualando V'(x) a zero, obtemos x = 1,5 cm. Como V''(1,5) = 8 > 0, concluímos que x = 1,5 cm é o valor que maximiza o volume. E) O gráfico de V mostra que o volume da caixa aumenta à medida que o comprimento do lado do quadrado cortado aumenta até um certo ponto (1,5 cm), e depois diminui. Isso ocorre porque, quando o comprimento do lado do quadrado cortado é muito pequeno, a caixa é muito pequena e, quando é muito grande, a caixa não pode ser formada com o papelão disponível. O volume máximo é atingido quando o comprimento do lado do quadrado cortado é de 1,5 cm.