Verifique que µ(x, y) = y x é um fator integrante para a equação diferencial y dx + 2x ln x dy = 0 e então encontre sua solução. Solução: Seja M(x,...

Verifique que µ(x, y) =
y
x
é um fator integrante para a equação diferencial
y dx + 2x ln x dy = 0
e então encontre sua solução.
Solução: Seja M(x, y) = y e N(x, y) = 2x ln x. Então
∂M
∂y
= 1 e
∂N
∂x
= 2 ln x + 2
Como
∂M
∂y
,
∂N
∂x
a equação dada não é exata. Multiplicando a equação por
y
x
temos a nova
equação
y2
x
dx + 2y ln x dy = 0
Agora se M̃(x, y) =
y2
x
e Ñ(x, y) = 2y ln x. Então
∂M̃
∂y
=
2y
x
e
∂Ñ
∂x
=
2y
x
Como
∂M̃
∂y
=
∂Ñ
∂x
a nova equação é exata e portantoµ(x, y) =
y
x
é um fator integrante da equação
diferencial original. Como a nova equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que

∂F
∂x
=
y2
x
∂F
∂y
= 2y ln x
(1.5.10)
Integrando
∂F
∂x
com respeito a x, temos:
F(x, y) = y2 ln x + h(y)
Derivando F(x, y) em relação a y e igualando a N(x, y), temos:
∂F
∂y
= 2y ln x + h′(y)
⇒ h′(y) = 0 =⇒ h(y) = c, c = constante.
Portanto, substituindo h(y) na expressão de F, a solução geral será:
y2 ln x = c.