Exemplo 2.6.5. Resolve a equação diferencial ou o problema do valor inicial (a) y′′′ − 4y′ = 1 − 3x (b) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 10xex (c) y′′′ − 4y...

Vamos resolver cada uma das equações diferenciais propostas: (a) y′′′ − 4y′ = 1 − 3x Para resolver essa equação, primeiro encontramos a solução homogênea, que é dada pela equação característica: r³ - 4r = 0 Fatorando, temos: r(r² - 4) = 0 Logo, as raízes são r1 = 0, r2 = 2 e r3 = -2. Portanto, a solução homogênea é: y_h(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Como o termo do lado direito é uma função polinomial de primeiro grau, podemos tentar uma solução particular na forma de uma função polinomial de segundo grau: y_p(x) = Ax² + Bx + C Substituindo na equação diferencial, temos: 6A - 4B = -3x + 1 Igualando os coeficientes, temos: 6A = 0 => A = 0 -4B = -3 => B = 3/4 Portanto, a solução particular é: y_p(x) = (3/4)x A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea com a solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) + (3/4)x (b) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 10xex Para resolver essa equação, primeiro encontramos a solução homogênea, que é dada pela equação característica: r³ - 3r² + 3r - 1 = 0 Essa equação característica tem uma raiz tripla em r = 1. Portanto, a solução homogênea é: y_h(x) = c1 + c2xe^x + c3x^2e^x Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Como o termo do lado direito é uma função exponencial multiplicada por uma função polinomial, podemos tentar uma solução particular na forma de uma função polinomial multiplicada por uma função exponencial: y_p(x) = (Ax^2 + Bx + C)ex Substituindo na equação diferencial, temos: 6A + 6B + 6C = 10x Igualando os coeficientes, temos: 6A = 0 => A = 0 6B = 10 => B = 5/3 6C = 0 => C = 0 Portanto, a solução particular é: y_p(x) = (5/3)xex A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea com a solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 + c2xe^x + c3x^2e^x + (5/3)xex (c) y′′′ − 4y′ = 12 sen 2x Para resolver essa equação, primeiro encontramos a solução homogênea, que é dada pela equação característica: r³ - 4r = 0 Fatorando, temos: r(r² - 4) = 0 Logo, as raízes são r1 = 0, r2 = 2 e r3 = -2. Portanto, a solução homogênea é: y_h(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Como o termo do lado direito é uma função senoidal, podemos tentar uma solução particular na forma de uma função senoidal: y_p(x) = A sen 2x + B cos 2x Substituindo na equação diferencial, temos: -16A + 16B = 12 sen 2x Igualando os coeficientes, temos: -16A = 0 => A = 0 16B = 12 => B = 3/4 Portanto, a solução particular é: y_p(x) = (3/4)cos 2x A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea com a solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) + (3/4)cos 2x