2. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: (a) y′′ − 6y′ − 7y = −9e−2x, y(0) = −2, y′(0) = 13. Resp: y = e−x −...

Para resolver a equação diferencial dada, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação característica: r^2 - 6r - 7 = 0 2. Resolver a equação característica: r1 = 7, r2 = -1 3. Escrever a solução geral da equação homogênea: yh = c1e7x + c2e-x 4. Encontrar uma solução particular da equação não homogênea: yp = -e^-2x 5. Escrever a solução geral da equação diferencial: y = yh + yp = c1e7x + c2e-x - e^-2x 6. Aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de c1 e c2: y(0) = -2 -> c1 + c2 - 1 = -2 y'(0) = 13 -> 7c1 - c2 + 2 = 13 7. Resolver o sistema de equações para encontrar os valores de c1 e c2: c1 = (3e^-2 - 2e^7)/4 c2 = (2e^7 - 5e^-2)/4 8. Substituir os valores de c1 e c2 na solução geral para obter a solução particular: y = e^-x - 2e^7x - e^-2x Portanto, a resposta correta para a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas é y = e^-x - 2e^7x - e^-2x.