Determine os valores máximos e mínimos locais os pontos de sela da função ????(????, ????) = ???? 4 + ???? 4 − 4???????? + 1.

Para determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1, é necessário calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a x e y. As derivadas parciais de primeira ordem são: fx = 4x^3 - 4y fy = 4y^3 - 4x Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: 4x^3 - 4y = 0 4y^3 - 4x = 0 Isso nos leva a: x = y ou x = -y Substituindo x = y na equação de fx, temos: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0, x = 1 e x = -1 Substituindo x = -y na equação de fx, temos: 4(-y)^3 - 4(-y) = 0 -4y(y^2 + 1) = 0 y = 0, y = i e y = -i Portanto, os pontos críticos são: (0,0), (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). As derivadas parciais de segunda ordem são: fxx = 12x^2 fyy = 12y^2 fxy = fyx = -4 Para determinar a natureza dos pontos críticos, podemos usar o teste da matriz hessiana. A matriz hessiana é: H = [fxx fxy] [fyx fyy] Substituindo os valores das derivadas parciais de segunda ordem na matriz hessiana, temos: H = [12x^2 -4] [-4 12y^2] Agora, podemos avaliar a matriz hessiana em cada ponto crítico: - (0,0): H = [0 -4] [-4 0]. Como det(H) < 0 e fxx < 0, temos um ponto de sela. - (1,1): H = [12 -4] [-4 12]. Como det(H) > 0 e fxx > 0, temos um mínimo local. - (1,-1): H = [12 4] [4 12]. Como det(H) > 0 e fxx > 0, temos um mínimo local. - (-1,1): H = [12 -4] [-4 12]. Como det(H) > 0 e fxx > 0, temos um mínimo local. - (-1,-1): H = [12 4] [4 12]. Como det(H) > 0 e fxx > 0, temos um mínimo local. Portanto, os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função são: - Máximo local: não há. - Mínimo local: f(1,1) = -2, f(1,-1) = -2, f(-1,1) = -2 e f(-1,-1) = -2. - Ponto de sela: f(0,0) = 1.