MUITAS VEZES É extremamente valioso saber a probabilidade da ocorrência de múltiplos eventos. Quais são as chances de faltar eletricidade e o gerad...

MUITAS VEZES É extremamente valioso saber a probabilidade da ocorrência de múltiplos eventos. Quais são as chances de faltar eletricidade e o gerador não funcionar? A probabilidade de dois eventos independentes acontecerem ambos é o produto das respectivas probabilidades. Em outras palavras, a probabilidade de ocorrer o Evento A e ocorrer o Evento B é a probabilidade do Evento A multiplicada pela probabilidade do Evento B. Um exemplo deixará tudo mais intuitivo. Se a probabilidade de dar cara com uma moeda honesta é 1/2, então a probabilidade de dar cara duas vezes seguidas é 1/2 × 1/2, ou 1/4. A probabilidade de dar três caras seguidas é ⅛, a probabilidade de quatro caras seguidas é 1/16, e assim por diante. (Você deve perceber que a probabilidade de quatro coroas seguidas também é 1/16.) Isso explica por que o administrador do sistema da sua escola ou escritório está constantemente em cima de você para melhorar a “qualidade” da sua senha. Se você tem uma senha de seis dígitos usando apenas dígitos numéricos, podemos calcular o número de senhas possível: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, que é igual a 106, ou 1 milhão. Parece que são muitas possibilidades, mas um computador pode passar por todo o milhão de combinações possível numa fração de segundo. Então suponhamos que o administrador do seu sistema fique falando na sua orelha tempo suficiente para você incluir letras na senha. A essa altura, cada um dos seis dígitos da senha tem agora 36 possibilidades: 26 letras e dez algarismos. A quantidade de senhas possível cresce para 36 × 36 × 36 × 36 × 36 × 36, ou 366, que é mais de 2 bilhões. Se o seu administrador exigir oito dígitos e insistir para que você use símbolos como #, @, % e !, como faz a Universidade de Chicago, a quantidade de senhas potenciais sobe para 468, ou pouco acima de 20 trilhões. Aqui existe uma distinção crucial. Essa fórmula é aplicável apenas se os eventos forem independentes, o que significa que o resultado de um deles não tem nenhum efeito no resultado do outro. Por exemplo, a probabilidade de você tirar cara no primeiro lançamento não altera a probabilidade de você tirar cara no segundo. Por outro lado, a probabilidade de chover hoje não é independente de ter chovido ontem, uma vez que frentes de chuvas podem durar dias. De maneira semelhante, a probabilidade de você bater o carro hoje e bater o carro no ano que vem não são independentes. O que quer que tenha causado a colisão deste ano também pode provocar a colisão do ano que vem; você pode ter propensão a dirigir bêbado, gostar de correr, mandar mensagens de texto enquanto guia, ou simplesmente dirigir mal. (É por isso que o seguro do seu carro aumenta depois de um acidente; não é simplesmente porque a companhia quer recuperar o dinheiro que pagou pelo sinistro; não, ela agora tem uma nova informação sobre a sua probabilidade de bater no futuro, probabilidade esta que – depois que você atirou seu carro contra a porta da sua garagem – subiu.) Suponha que você esteja interessado na probabilidade de que um evento ocorra ou outro evento ocorra: o resultado A ou o resultado B (mais uma vez, admitindo que sejam independentes). Nesse caso, a probabilidade de obter A ou B consiste na soma de suas probabilidades individuais: a probabilidade de A mais a probabilidade de B. Por exemplo, a probabilidade de dar 1, 2 ou 3 com um único lançamento de um dado é a soma de suas probabilidades individuais: . Isso deveria intuitivamente fazer sentido. Há seis resultados possíveis para o lançamento de um dado. Os números 1, 2 e 3 juntos formam metade de todos os resultados possíveis. Portanto, você tem 50% de chance de tirar 1, 2 ou 3. Se você está jogando crepe em Las Vegas, a chance de tirar 7 ou 11 num único lançamento de dois dados é o número de combinações que somam 7 ou 11 dividido pelo número total de combinações que podem resultar no lançamento de dois dados, ou .e A probabilidade também possibilita calcular o que pode ser a ferramenta mais útil em toda tomada de decisão gerencial, particularmente em finanças: o valor esperado.f O valor esperado leva a probabilidade básica um passo adiante. O valor esperado ou payoffg de algum evento, digamos, a compra de um bilhete de loteria, é a soma de todos os diferentes resultados, cada um pesado pela sua probabilidade e payoff. Como sempre, um exemplo torna isso mais claro. Suponha que você seja convidado a participar de um jogo em que rola um único dado. O payoff desse jogo é US$1 se você tirar 1; US$2 se tirar 2; US$3 se tirar 3; e assim por diante. Qual é o valor esperado para um único lance desse dado? Cada resultado possível tem uma probabilidade de , então o valor esperado é: (US$1) + (US$2) + (US$3) + (US$4) + (US$5) + (US$6) = ou US3,50 À primeira vista, o valor esperado de US$3,50 pode parecer um número relativamente inútil. Afinal, você não pode efetivamente ganhar US$3,50 com um único rolar de dados (uma vez que seu payoff precisa ser um número inteiro). Na verdade, o valor esperado acaba se revelando extremamente poderoso porque é capaz de lhe dizer se um particular evento é “justo”, dado