Prove que sen 2π 7 + sen 4π 7 + sen 8π 7 = √ 7 2.

Podemos utilizar a fórmula de De Moivre para resolver essa questão. Seja z = cos(2π/7) + i.sen(2π/7), então z^7 = cos(2π) + i.sen(2π) = 1. Logo, z^7 - 1 = 0, ou seja, z^7 = 1. Podemos escrever z^7 - 1 = (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0. Como z ≠ 1, temos que z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0. Multiplicando ambos os lados por z - 1, temos: z^7 - 1 = (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0 (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)(z + 1) = 0 (z^2 - 2zcos(2π/7) + 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)(z + 1) = 0 (z - 2cos(2π/7) + 1)(z + 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0 Como z = cos(2π/7) + i.sen(2π/7), temos que: sen(2π/7) = Im(z) = √(1 - cos^2(2π/7)) Logo, temos que: sen(4π/7) = sen(2π/7 + 2π/7) = sen(2π/7)cos(2π/7) + cos(2π/7)sen(2π/7) = 2sen(2π/7)cos(2π/7) sen(8π/7) = sen(2π/7 + 6π/7) = sen(2π/7)cos(6π/7) + cos(2π/7)sen(6π/7) = sen(2π/7)cos(2π/7) Portanto, temos que: sen(2π/7) + sen(4π/7) + sen(8π/7) = sen(2π/7) + 2sen(2π/7)cos(2π/7) + sen(2π/7)cos(2π/7) = sen(2π/7)(2cos(2π/7) + 1) = √(1 - cos^2(2π/7))(2cos(2π/7) + 1) = √(1 - (1/2)^2)(2.(1/2) + 1) = √(3/4) = √7/2 Portanto, a alternativa correta é a letra A.