13. (Fuvest 2011) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado ℓ. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e B...

Para calcular a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G, podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a altura da pirâmide: Como M e N são pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente, temos que MN é paralelo a AE e tem comprimento igual a ℓ/2. Além disso, o triângulo MBN é retângulo em N, então podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a altura da pirâmide: h = √(BN² - MN²) h = √[(ℓ/2)² - (ℓ/2)²] h = √(ℓ²/4) h = ℓ/2 2. Calcular a área da base maior: A base maior da pirâmide é o quadrado BEFG, que tem área igual a ℓ². 3. Calcular a área da base menor: A base menor da pirâmide é o quadrado MNFE, que também tem área igual a ℓ². 4. Calcular a área lateral: A área lateral do tronco de pirâmide é a soma das áreas dos quatro trapézios congruentes que ligam as bases maior e menor. Cada um desses trapézios tem altura h e bases paralelas a BE e MN, respectivamente, e comprimentos iguais a ℓ/2. Portanto, a área de cada trapézio é: Atrapézio = (B + b)h/2 Atrapézio = [(ℓ + ℓ/2) + (ℓ/2 + ℓ)](ℓ/2)/2 Atrapézio = (5ℓ/2)(ℓ/4) Atrapézio = 5ℓ²/8 Como há quatro trapézios congruentes, a área lateral total é: Alateral = 4Atrapézio Alateral = 4(5ℓ²/8) Alateral = 5ℓ²/2 5. Calcular a área total: A área total do tronco de pirâmide é a soma das áreas das bases maior e menor e da área lateral: Atotal = Abase maior + Abase menor + Alateral Atotal = ℓ² + ℓ² + 5ℓ²/2 Atotal = 7ℓ²/2 Portanto, a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G é igual a 7ℓ²/2.