17. (AFA2008) A circunferência ( ) x² y² 2x 2y k 0λ + − − + = passa pelo ponto A (0,1). Sabendo-se que o ponto P de ( )λ mais próximo da origem...

Para resolver essa questão, podemos seguir os seguintes passos: 1. Substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência: (0)² + (1)² + 2(0)(1) - 2k + k = 0 1 - k = 0 k = 1 2. Substituir as coordenadas dos pontos M e N na equação da reta que passa por eles: a) M(0,1) e N(2,0) y = -x + 1 b) Encontrar a coordenada do ponto Q que está na reta MN e na circunferência: Substituindo y = -x + 1 na equação da circunferência: x² + (-x + 1)² + 2x + 2(-x + 1) - 2 + 1 = 0 2x² - 2x - 2 = 0 x² - x - 1 = 0 x = (1 ± √5)/2 Substituindo x na equação da reta MN: y = -x + 1 y = -[(1 ± √5)/2] + 1 y = (1 ∓ √5)/2 Portanto, os pontos Q1 e Q2 são: Q1 = ((1 + √5)/2, (1 - √5)/2) Q2 = ((1 - √5)/2, (1 + √5)/2) 3. Encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo MNQ: xG = (0 + 2 + (1 ± √5)/2)/3 yG = (1 + 0 + (1 ∓ √5)/2)/3 4. Calcular a área do triângulo MNQ: Usando a fórmula da área do triângulo: A = (1/2) * base * altura A = (1/2) * MN * QG O comprimento de MN é dado pela distância entre os pontos M e N: MN = √[(2 - 0)² + (0 - 1)²] = √5 A altura do triângulo é a distância entre o ponto Q e a reta MN. Podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d = |ax + by + c|/√(a² + b²) Substituindo as coordenadas do ponto Q1 na equação da reta MN: d1 = |(-1)(1 + √5)/2 + 1(1 - √5)/2 + 1|/√2 d1 = √5/2 Substituindo as coordenadas do ponto Q2 na equação da reta MN: d2 = |(-1)(1 - √5)/2 + 1(1 + √5)/2 + 1|/√2 d2 = √5/2 Portanto, a área do triângulo MNQ é: A = (1/2) * √5 * (√5/2) A = 5/4 Assim, a alternativa correta é a letra d) 5/3.