Lista 2_ Circunferência

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GEOM. ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA - 1 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Dê a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;2), 
B(7,-5) e C (6;-6). 
 
2. (ITA 2005) Uma circunferência passa pelos pontos ( )0;2A = ,
( )0;8B = e ( )8;8C = . Então , o centro da circunferência e o 
valor de seu raio são: 
 
3. (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesiana ortogonais, a 
equação x² y² ax by+ = + , onde a e b são números reais não 
nulos, representa a seguinte curva: 
a) Circunferência de raio 
a² b²
2
+
 
b) Circunferência de raio a² b²+ 
c) Circunferência de raio 
a b
2
+
 
d) Parábola de vértice no ponto (a, b) 
e) Elipse com semi eixos de comprimentos a/2, b/2 
 
4. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação cartesiana 
2 2x y ax by,+ = + onde a e b são números reais não nulos. O 
número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos 
coordenados é igual a 
 a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 
 
5. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano cartesiano 
descrita pela equação (2 ) (2 1) 8 4 0,− + + + + =p x p y p nas 
variáveis x e y, em que p é um parâmetro real. 
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente 
intercepte perpendicularmente o eixo y. Encontre o ponto de 
interseção neste caso. 
b) Considere a reta 3 12 0+ + =x y dessa família para p = 1. 
Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O a 
origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em 
que o segmento OA é um diâmetro. 
 
6. (ITA) O ponto da circunferência x² y² 4x 10y 28 0+ + + + = que 
tem ordenada máxima é: 
a) 
2 9
2,
2 2
 
− −  
 
 b) ( )2 3, 1− − 
 
c) 3 , 1
10
 
− − 
 
 d) 
2
2, 2
2
 
− −  
 
 e) ( )2, 4− − 
7. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B (2, 3) e C é 
um ponto qualquer da circunferência x² y² 5+ = . A abscissa do 
ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é: 
a) –1 b) 
3
4
− c) 1 d) 
3
4
 e) 2 
 
8. (FGV2004) As coordenadas do ponto da circunferência 
(x−8)2+ (y−6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0, 0) são: 
a) (8,6) b) (4,3) c) (0,25) d) (13,12 e) (12,9) 
 
 
9. (ITA) Seja C a circunferência dada pela equação 
x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo 
da origem, então: 
a) 2
3
a e 4b 24b 15 0
2
= − + + = 
b) 2
1
a e 4b 24b 33 0
2
= − + + = 
c) 
10
a 1 e b 3a
10
= − = 
d) 
10
a 1 e b 3a
10
= − − = 
e) n.d.a 
 
10. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z i |,+ sabendo que 
| z 2 | 1, z .− = ∈� 
b) Se oz ∈� satisfaz (a), determine oz . 
 
11. (ITA 1984) A equação da circunferência tangente ao eixo das 
abscissas na origem e que passa pelo ponto (a, b) onde 
a² b² 2b e b 0+ = ≠ a, é: 
a) ( )x b ² y² b²− + = 
b) ( ) ( )x 1 ² y 1 ² 1− + − = 
c) ( )x² y 2 ² 2+ − = 
d) ( )x² y 1 ² 1+ − = 
e) 
1 1
x² y ²
2 4
 
+ − = 
 
 
 
12. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é 
tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto 
(1, 2). Nessas condições, o raio de C vale 
a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10 
 
13. (Ita 2015) Considere as afirmações a seguir: 
 
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com 
comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre 
os eixos coordenados é uma circunferência. 
II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que 
3 2 2 26x x y xy 4x 2xy 0+ − − − = é um conjunto finito no plano 
cartesiano 2.� 
III. Os pontos (2,3), (4, 1)− e (3,1) pertencem a uma 
circunferência. 
 
Destas, é (são) verdadeira(s) 
 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) I e II. e) I e III. 
 
14. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que 
m 2
n 3
= − é a equação 
36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência de raio 
r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são 
os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo 
ABC, em cm2, é igual a 
 
 2 
a) 
8 2
3
 b) 
4 2
3
 c) 
2 2
3
 
 
d) 
2 2
9
 e) 
2
9
 
 
15. (ITA 1985) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, 
considere a família de circunferências que passam pelo ponto 
1
2,
2
 
− 
 
e que são tangenciadas pela reta 
3
y
2
= − . Então, a 
equação do lugar geométrico dos centros dessas circunferências é 
dada por: 
a) x² 4x 2y 2 0− − − = 
b) y² 2y 5x 2 0− − − = 
c) x² 2x 7y 3 0+ − + = 
d) y² 4y 2x 3 0− − − = 
e) x² y² 2x y 2 0+ − + − = 
 
16. (IME 2007) Considere uma circunferência C fixa de raio R. A partir 
de dois pontos A e B pertencentes a C, traçam-se retas tangentes a 
C que se interceptam num ponto P, tal que PA PB k= = . Sendo k 
um valor constante, o lugar geométrico de P é uma: 
a) reta b) circunferência c) parábola 
 d) hipérbole e) elipse 
 
17. (AFA2008) A circunferência ( ) x² y² 2x 2y k 0λ + − − + = 
passa pelo ponto A (0,1). Sabendo-se que o ponto P de ( )λ mais 
próximo da origem coincide com o baricentro do triângulo MNQ, onde 
M (0,k), N (2k,0) e q (xQ,yQ) é correto afirmar que a área do triangulo 
MNQ é um número do intervalo 
a) 
3
1,
2
 
 
 
 b) 
3
,2
2
 
 
 
 c) 
5
2,
2
 
 
 
 d) 
5
,3
2
 
 
 
 
 
18. (Unesp 2016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas 
do seu produto em um raio de até 25 km do depósito. Para a 
distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o 
depósito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse 
os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma 
proporcional em caso de frações de quilômetros. 
Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km 
ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e 
determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha 
direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em 
seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, 
para o caso em que C(x) 0.≠ 
 
19. (AFA 2007) Seja λ uma circunferência inscrita em um triângulo 
retângulo AOB cujos catetos estão sobre os eixos cartesiano e 
medem 3 cm e 4 cm, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
É incorreto afirmar que 
a) a região sombreada é definida por 
y 0
x 0
3x 4y 1
(x 1)² (y 1)² 1
≥

≥

+ ≤
 − + − ≥
 
b) o ponto de λ mais próximo da origem tem a soma das coordenadas 
igual a 2 2− 
c) a área da região sombreada é menor que 3 cm² 
d) o conjunto de pontos do plano cartesiano eqüidistantes de A e B é 
representado por 8 x -6 y – 7 =0 
 
20. Determine o comprimento da corda que a reta x y 3 0+ − = 
determina na circunferência 2 2x y 4x 6y 9 0+ − − + = 
 
21. (Ita 2016) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência 
2 2x y 4+ = e à reta y 2(1 x),= − então o valor do cosseno do 
ângulo �POQ é igual a 
a) 
3
.
5
− b) 
3
.
7
− c) 
2
.
5
− d) 
4
.
5
− e) 
1
.
7
− 
 
22. (ITA 1992) Seja C a circunferência 2 2x y 2x 6y 5 0+ − − + = 
.Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M: (2,2 ). O 
comprimento de AB (em unidade de comprimento) é igual a: 
a) 2 6 
b) 3 
c) 2 
d) 2 3 
e) n.d.a 
 
23. (ITA) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio de uma corda AB 
da circunferência ( )x 1 ² y² 4− + = , então a equação da reta que 
contém a A e B é dada por: 
a) y = 2x –3 b) y = x – 1 c) y = -x + 3 
d) 
3
y x 2
2
= − e) 
1
y x 2
2
= − + 
 
24. (ITA) Seja *m R
+
∈ , tal que a reta x - 3y - m = 0 determina, na 
circunferência (x - 1)² + (y +3)² = 25, uma corda de comprimento 6. 
O valor de m é: 
a) 10 4 10+ b) 2 3+ c) 5 2− 
d) 6 10+ e) 3 
 
25. (UNIFESP 2007) Em um plano cartesiano seja T o triângulo que 
delimita a região definida pelas inequações y 2≤ , x 0≥ e x y 2− ≤ . 
a) Obtenha as equações de todas as retasque são eqüidistantes 
dos três vértices do triângulo T . 
b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao triângulo T 
, destacando o centro e o raio. 
 
26. (FGV2005) No plano cartesiano, considere o feixe de paralelas 
2x + y = c em que c R∈ 
a) qual a reta do feixe com maior coeficiente linear que intercepta a 
região determinada pelas inequações: 
 
 
 3 
x y 10
x 0
y 0
+ ≤

≥
 ≥
 
b) Quais as retas do feixe que tangenciam a circunferência da 
equação x² y² 1+ = ? 
 
27. (Fuvest 2015) A equação 2 2x 2x y my n,+ + + = em que m e 
n são constantes, representa uma circunferência no plano 
cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1= − + contém o centro da 
circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4).− Os valores de m e 
n são, respectivamente, 
a) 4− e 3 b) 4 e 5 c) 4− e 2 d) 2− e 4 
e) 2 e 3 
 
28. (Esc. Naval 2014) Quantas unidades de área possui a região 
plana limitada pela curva de equação 2x 1 1 y= − − e pelas 
retas 2y x 3 0,+ − = 2y x 3 0− + = e x 2?= 
a) 
1
2
π + b) 3
2
π + c) 1
2
π
+ 
d) 3π + e) 3
2 2
π
+ 
 
29. (Esc. Naval 2013) Quantas unidades de área possui a região 
plana limitada pela curva de equação ( )2y x 6x 8= − − + + e 
pela reta y x 2?= + 
a) 
1
4 4
π
− b) 
1
2 4
π
− c) 1
2
π
− 
d) 
1
4 2
π
− e) 2π − 
 
30. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação 
cartesiana 2 2x y 4y 0+ − = e a parábola α de equação 
2y 4 x .= − 
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α 
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a 
circunferência λ e a parábola .α Indique, no seu desenho, o 
conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, 
as inequações 2 2x y 4y 0+ − ≤ e 2y 4 x .≥ − 
 
31. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas 
Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na 
origem e raio 3, bem como o gráfico da função 
8
y
x
= 
 
 
 
Nessas condições, determine 
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência 
com o gráfico da função. 
b) a área do pentágono OABCD. 
 
32. (Ita 2013) Determine a área da figura plana situada no primeiro 
quadrante e delimitada pelas curvas 
x
(y x 2)(y 2) 0
2
− − + − = e 2 2x 2x y 8 0.− + − = 
 
33. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações 
 
( )
2 2
2
2
x y 2x 0
3 1
x 1 y
2 4
 + − ≥

  
− + − ≤     
 
 
a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos 
ortogonais, a solução desse sistema de inequações. 
b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica 
do sistema de inequações 
 
34. (ITA) Seja C o centro da circunferência 2 2x + y - 6 2y = 0 . 
Considere A e B os pontos de interseção desta circunferência com 
a reta y = 2x . Nestas condições o perímetro do triângulo de 
vértices A, B e C é: 
a) 6 2 3+ 
b) 4 3 2+ 
c) 2 3+ 
d) 5 3 2+ 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
GABARITO 
 
1. �� � 1�	 � �
 � 2�	 
 1 
2. � 
 �4,5�	�	� 
 5 
3. A 
4. C 
5. A) �0, �4�		B) �� � 6�	 � 
	 
 36 
6. E 
7. C 
8. E 
9. C 
10. A) 1 � √5 B) �� 
 �	√�� � 2� �
√�
� � 
11. D 
12. C 
13. A 
14. D 
15. A 
16. B 
17. B 
18. ���� 
 20�√400 � �	 � 25 , � ! 15"# 
19. A 
20. $ 
 2√2 
21. A 
22. D 
23. C 
24. A 
25. A) � 
 2, 
 
 0, 
 
 � 
b) �� � 2�	 � 
	 
 8, &�'()*	�2,0�,			)+�*	2√2 
 
26. A) 2� � 
 
 20 B) 2� � 
 
 ,√5 
27. A 
28. E 
29. D 
30. A) �√3, 1 ,				��√3, 1 ,			�0,4� 
B) 
 
 
31. A) - 
 �2√2, 1 , . 
 �1,2√2 ,						� 
��1,2√2 ,/ 
 ��2√2, 1 
B) 7 � 2√2 
 
32. 
1
2 �33 � 2� 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. 
a) 
 
 
 A solução do sistema é a região do plano limitada pelas 
circunferências de centros em (1,0) e 
3
1, ,
2
 
 
 
 
 com raios 
respectivamente iguais a 1 e 
1
.
2
 
 
 
 
b) ,
−6 3
u.a.
24
π
 
 
34. E