23. (EN-91) O menor valor que pode ter a soma dos quadrados das distâncias de um ponto aos quatro vértices de um quadrado de lado l: A. ( ) 2l2 ...

Para encontrar a soma dos quadrados das distâncias de um ponto aos quatro vértices de um quadrado de lado l, precisamos primeiro encontrar a posição desse ponto. Podemos escolher um dos vértices do quadrado como origem e usar coordenadas cartesianas para representar a posição do ponto. Se escolhermos o vértice inferior esquerdo como origem, podemos representar a posição do ponto como (x, y). A distância do ponto ao vértice inferior esquerdo é d1 = sqrt(x^2 + y^2). A distância do ponto ao vértice inferior direito é d2 = sqrt((l-x)^2 + y^2). A distância do ponto ao vértice superior direito é d3 = sqrt((l-x)^2 + (l-y)^2). A distância do ponto ao vértice superior esquerdo é d4 = sqrt(x^2 + (l-y)^2). A soma dos quadrados das distâncias é d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2. Podemos minimizar essa soma encontrando o mínimo da função f(x, y) = d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2. Para encontrar o mínimo, podemos usar cálculo multivariável. Calculando as derivadas parciais de f em relação a x e y, igualando-as a zero e resolvendo o sistema de equações, encontramos o ponto crítico (x, y) que minimiza a soma das distâncias. O ponto crítico é (x, y) = (l/2, l/2). Substituindo esse valor na expressão para a soma das distâncias, obtemos: d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2 = 2l^2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 2l^2.