Lista 1_ Retas

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GEOMETRIA ANALÍTICA-1: RETAS 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
01. (EFOMM-98) Os pontos A (0 , 3), B (2 , -2) e C (3 , 3) são vértices 
de um triângulo. Podemos afirmar que a raiz quadrada da soma dos 
quadrados dos lados desse triângulo é igual a: 
 
A. ( ) 2 B. ( ) 8 
C. ( ) 3 D. ( ) 12 
E. ( ) 2 3 
 
02. Na figura abaixo, a reta r tem equação y 2 2x 1  no plano 
cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, 
sendo B0 = (0, 1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 
= O = (0, 0). O ponto Di pertence ao segmento 
____
i iA B , para 1 i 3 
.Os segmentos A1B1, A2B2, A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os 
segmentos B0D1, B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância 
entre Bi e Bi + 1 é igual a 9, para 1 i 2  . Nessas condições: 
 
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3. 
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai + 1 e altura Ai + 1 Di + 1, para 
1 i 2  , calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2. 
 
 
 
03. (UNICAMP 2008) As retas de equações y ax b  e y cx são 
ilustradas na figura a seguir . sabendo que o coeficiente b é igual a 
média aritmética dos coeficientes a e c, 
 
a) expresse as coordenadas dos pontos P,Q e R em termos dos 
coeficientes a e b; 
b) determine a,b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o 
dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 
1. 
 
 
 
04. (ITA-93) Dadas as retas (r1): x + 2y - 5 = 0, (r2): x - y - 2 = 0 e (r3): 
x - 2y - 1 = 0, podemos afirmar que: 
 
A. ( ) São 2 a 2 paralelas. 
B. ( ) (r1) e (r3) são paralelas. 
C. ( ) (r1) é perpendicular a (r3). 
D. ( ) (r2) é perpendicular a (r3). 
E. ( ) As três são concorrentes num mesmo ponto. 
05. (ITA 1988) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B: (1, 1) 
e C: (3, -2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta de 
equação 3x – 4y +2 = 0. Então, a reta que contém o cateto AC é dada 
por: 
 
A. ( ) 4x 3y 6 0   B. ( ) 4x 3y 3 0   
C. ( ) 3x 4y 1 0   D. ( ) 2x 5y 0  
E. ( ) 4x 3y 6 0   
 
06. (FGV 2003-julho) No plano cartesiano, os pontos A(-1;4) e B(3;6) são 
simétricos em relação à reta (r) . O coeficiente angular da reta (r) vale: 
 
A. ( ) –1 B. ( ) –2 
C. ( ) –3 D. ( ) –4 
E. ( ) –5 
 
07. (ITA-93) Sendo (r) uma reta dada pela equação x - 2y + = 0, então, a 
equação da reta (s) simétrica à reta (r) em relação ao eixo das 
abcissas é descrita por: 
 
A. ( ) x + 2y = 0 B. ( ) 3x - y + 3 = 0 
C. ( ) 2x + 3y + 1 = 0 D. ( ) x + 2y + 2 = 0 
E. ( ) x - 2y - 2 = 0 
 
08. (ITA-94) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, pelas 
equações 3x - 4y = 3 e 2x + y = 2. Um ponto P pertencente à reta s 
tem abcissa positiva e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax + 
by + c = 0 é a equação da reta que contém P e é paralela a r, então a 
+ b + c é igual a : 
 
A. ( ) –132 B. ( ) –126 
C. ( ) –118 D. ( ) –114 
E. ( ) -112 
 
09. (ITA-95) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) 
e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas 
do quarto vértice são dadas por: 
 
A. ( ) (-b, -b) B. ( ) (-2b, -b) 
C. ( ) (4b, -2b) D. ( ) (3b, -2b) 
E. ( ) (-2b, -2b) 
 
10. (ITA-97) Seja A o ponto de interseção das retas r e s dadas, 
respectivamente, pelas equações x + y = 3 e x – y = –3. Sejam B e C 
os pontos situados no primeiro quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo 
que d(A, B) = d(A, C) = √2. Então a reta passando por B e C é dada 
pela equação: 
 
A. ( ) 2x + 3y = 1 B. ( ) y = 1 
C. ( ) y = 2 D. ( ) x = 1 
E. ( ) x = 2 
 
11. (FGV 2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence à reta de 
equação y x é eqüidistante dos pontos A(−1,3) e B(5,7) tem 
abscissa igual a: 
 
A. ( ) 3,1 B. ( ) 3,3 
C. ( ) 3,4 D. ( ) 3,5 
E. ( ) 3,2 
 
12. (ITA-98) Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0, 0), B = (–1, 
2) e C = (–3, –4). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste 
paralelogramo são, respectivamente: 
 
 2 
13. (FGV 2005 ADM) Considere os pontos A = (1, −2); B = (−2, 4) e C 
= (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação: 
 
A. ( ) 2y−x−3=0 B. ( ) y−2x+3=0 
C. ( ) 2y+x+3=0 D. ( ) y+2x+9=0 
E. ( ) 2y+x−9=0 
 
14. (EN-90) No triângulo de vértices A (1, 3), B (4, 5) e C (7, 6), a 
equação da altura relativa ao vértice A é: 
 
A. ( ) 3x y 6 0   B. ( ) x 3y 6 0   
C. ( ) 3x y 0  D. ( ) x 3y 8 0   
E. ( ) 5x 9y 22 0   
 
15. (ITA-87) Suponha que x e y são números reais, satisfazendo 
simultaneamente às equações 2x + 3y = 21 e 7x - 4y = 1. Nestas 
condições, se S = x + y , então 
 
A. ( ) S = 10 B. ( ) S = 8 
C. ( ) S = 5 D. ( ) S = -8 
E. ( ) S = 15 
 
16. (ITA 89) Determine a equação da reta suporte de um segmento que 
tem seu centro no ponto (5, 0) e extremidade em cada uma das 
retas x - 2y - 3 = 0 e x + y + 1 = 0. Dê a resposta na forma Ax + By 
+ C = 0. 
 
17. (ITA-88) Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que A: (9a , 
3b) , B: (-c , d) , C: (c , -d) são vértices de um triângulo equilátero. 
Então a equação da reta r que é paralela ao lado BC e passa pelo 
incentro do triângulo ABC é dada por: 
 
A. ( ) 3ax + by = c - d B. ( ) dx + cy = 3ad + bc 
C. ( ) ax + by = 2c + 3d D. ( ) 2dx + 3ay = 4bc 
E. ( ) dx - 2cy = 9a + 3b 
 
18. (FGV2006) No plano cartesiano, a reta de equação y x 1  corta 
ao lado AC do triângulo de vértice A = (1,7), B = (1,1) e C = 
(10,1),no ponto. 
 
A. ( ) (3,4) B. ( ) (4,5) 
 
C. ( ) (5,6) D. ( ) 
117 117
. 1
2 2
 
  
 
 
E. ( ) (5.5:4) 
 
19. (ITA 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um 
triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em 
unidades de distância, é igual a: 
 
A. ( ) 
5
3
 B. ( ) 
97
3
 
 
C. ( ) 
109
3
 D. ( ) 
5
3
 
 
E. ( ) 
10
3
 
 
20. (FGV2007-adaptada) Determine as coordenadas do circuncentro 
(x,y) do triângulo de vértices (0,0), (3,2) e (2,5). Determine o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
21. (EN-88) O circuncentro do triângulo de vértices A(2,6) , B(4 , 8) e 
C(8 , 14) é o ponto: 
 
A. ( ) (-15 , 25) B. ( ) (14/3 , 28/3) 
C. ( ) (44 , -22) D. ( ) (-10 , 20) 
E. ( ) (5 , 9) 
22. (ITA 2014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e 
C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em 
unidades de comprimento, 
 
A. ( ) 
15
8
 B. ( ) 
5 17
4
 
 
C. ( ) 
3 17
5
 D. ( ) 
5 17
8
 
 
E. ( ) 
17 5
8
 
 
23. (EN-91) O menor valor que pode ter a soma dos quadrados das 
distâncias de um ponto aos quatro vértices de um quadrado de lado l: 
 
A. ( ) 2l2 B. ( ) 3l2 C. ( ) 4l2 D. ( ) 5l2 E.( ) 6l2 
 
24. (ITA-90) Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujos extremos 
são os pontos em que a reta 2x - 3y + 7 = 0 intercepta os eixos 
coordenados. Então a distância do ponto (
1
4
,
1
6
) à reta (r) é: 
 
A. ( ) 
5 3
2
 B. ( ) 
4
13
 
C. ( ) 3 13 D. ( ) 
2 3
7
 
E. ( ) 
2
3
 
 
25. A equação 2 2x x xy y 2y 0     representa duas retas de um 
feixe de retas concorrentes. Se o ponto O = (a,b) é o centro desse 
feixe, então a + b é igual a: 
 
A. ( ) 1/3 B. ( ) 2/3 
C. ( ) 1 D. ( ) 4/3 
E. ( ) 5/3 
 
26. (ITA-92) Dados os pontos A: (0, 8), B: (-4, 0) e C: (4, 0), sejam r e s 
as retas tais que A, B ∈ r, B, C ∈ S. Considere P1 e P2 os pés das 
retas perpendiculares traçadas de P: (5, 3) às retas r e s, 
respectivamente. Então a equação da reta que passa por P1 e P2 é: 
 
 
A. ( ) y + x = 5 B. ( ) y + 2x = 5 
C. ( ) 3y - x = 5 D. ( ) y + x = 2 
E. ( ) n.d.a. 
 
27. (EN-05) O simétrico do ponto M = (3,4) em relação à reta que une os 
pontos A = (–1,3) e B = (4, –2) pertence à curva cuja equação é 
 
A. ( ) 2 2x 2y 5  B. ( ) 2y x 1  
 
C. ( ) 
2
2x y 2
4
  D. ( ) 
2 2x y
12 4
  
 
E. ( ) 2 2x y 4  
 
28. (ITA-82) Considere o triângulo ABC do plano cartesiano, onde A = (p, 
q), B = (2p, 3q) e C = (3p, 2q), sendo p e q reais. Se M é o ponto de 
intersecção de suas medianas, então a reta que passa por M e é 
paralela à reta BC intercepta os eixos cartesianos nos pontos: 
 
A. ( ) (0, p) e (4p, 0). B. ( ) (0, 4q) e (4p, 0). 
C. ( ) (0, 4p) e (4q, 0). D. ( ) (0, q) e (p, 0). 
E. ( ) (0, 3q) e (3p, 0). 
 
 3 
29. (ITA 1986) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
considere o triângulo ABC, sobre o qual sabemos que: 
 
a) o lado AC está sobre a reta y = x 
b) o vértice A tem coordenadas (1, 1) e o ângulo A mede 60º 
c) o vértice B está no eixo das ordenadas 
d) o lado BC é paralelo ao eixo das abscissas. 
A área deste triângulo vale: 
 
A. ( ) 9 B. ( ) 
9
3 3
2
 
 
C. ( ) 
3
2
 D. ( ) 
9 5
3
2 2
 
 
E. ( ) 
1
5 3
2
 
 
30. (FGV 2004) Seja r a reta que intercepta o eixo das ordenadas no 
ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. 
Considere uma reta s, que passa pela origem O (0,0) e intercepta a 
reta r no ponto C, de modo que a área do triangulo OCB seja igual 
à metade da área do triângulo OAC. 
 
a) Encontre a equação da reta s 
b) Determine as coordenadas do ponto 
 
31. (FUVEST –2002) Sejam A = (O, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3) os 
vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC . 
Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por 
D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com 
a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. 
 
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. 
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF 
é máxima. 
 
32. (UFSCAR2006) Os pontos P e Q, dividem o segmento de extremos 
(5,8) e (1,2) em três partes iguais. Se as retas perpendiculares a 
esse segmento pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos 
(0,p) e (0, q), com p q , então 6q 3p é igual a: 
 
A. ( ) 10 B. ( ) 8 C. ( ) 7 D. ( ) 5 E. ( ) 2 
 
33. (UNIFESP 2004) Considere a reta de equação 4x 3y 15 0   , a 
senóide de equação y sen(x) e o ponto P ,3
2
π 
  
 
conforme a 
figura. 
 
A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é: 
 
 
A. ( ) 
12 2
5
π
 B. ( ) 
13 2
5
π
 
 
C. ( ) 
14 2
5
π
 D. ( ) 
15 2
5
π
 
 
E. ( ) 
16 2
5
π
 
34. (UNICAMP – 2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da 
função y 1/ x,x 0  . As abcissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, 
respectivamente, e o segmento. AB é paralelo ao segmento CD. 
 
a) Encontre as coordenadas do ponto D. 
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos 
AB e CD passa também pela origem. 
 
35. (FGV 2003) No plano cartesiano existem dois valores de m de modo 
que a distância do ponto P (m;1) à reta de equação 3x + 4y+ 4 = 0 
seja 6 ; a soma desses valores é : 
 
A. ( ) –16/3 B. ( ) –17/3 
C. ( ) –18/3 D. ( ) -19/3 
E. ( ) –20/3 
36. (ITA 2015) Dados o ponto e a reta 
 considere o triângulo de vértices cuja 
base está contida em e a medida dos lados e é 
igual a Então, a área e o perímetro desse triângulo são, 
respectivamente, iguais a 
 
A. ( ) e B. ( ) e 
 
C. ( ) e D. ( ) e 
 
E. ( ) e 
 
37. (ITA 2015) Considere os pontos e a reta 
 Das afirmações a seguir: 
 
I. 
II. é simétrico de em relação à reta 
III. é base de um triângulo equilátero de vértice 
 ou 
 
É (são) verdadeira(s) apenas 
 
A. ( ) I. B. ( ) II. 
C. ( ) I e II. D. ( ) I e III. 
E. ( ) II e III. 
 
38. (FUVEST – 2001) A hipotenusa de um triângulo retângulo está 
contida na reta r : y = 5x -13, e um de seus catetos está contido na 
reta s : y = x - 1 . Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da 
forma (k, 5) sobre a reta s, determine: 
 
a) todos os vértices do triângulo; 
b) a área do triângulo. 
 
39. (ITA 2009) Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0, 0) 
e AB uma corda de C. Sabendo que (1, 3) é ponto médio de AB, então 
uma equação da reta que contém AB é: 
 
A. ( ) y+3x−6=0. B. ( ) 3y+x−10=0. 
C. ( ) 2y+x−7 = 0. D. ( ) y+x−4 = 0. 
E. ( ) 2y+3x−9=0. 
 
 
 
 
25
A 4,
6
 
  
 
r : 3x 4y 12 0,   ABC,
BC r AB AC
25
.
6
22
3
40
.
3
23
3
40
.
3
25
3
31
.
3
25
3
35
.
3
25
3
40
.
3
A (0, 1),  B (0,5)
r : 2x 3y 6 0.  
d(A,r) d(B,r).
B A r.
AB ABC,
C ( 3 3,2)  C (3 3,2).
 
 4 
40. (IME 2008) Sendo o ponto A (8, -2) um vértice de um losango ABCD 
e 2x y 1 0   a reta que contém os vértices B e D, assinale a 
opção correspondente ao vértice C. 
 
A. ( ) (-2,-8) B. ( ) (0,-4) 
C. ( ) (4,3) D. ( ) (-4,-8) 
E. ( ) (-1,7) 
 
41. (IME2007) O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(-2,0), R( 
x1, y1) e S(x2,y2) é construído tal que ˆ ˆRAS RBS 90º  . Sabendo 
que o ponto R pertence à reta t de equação y x 1  , determine a 
equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se 
deslocar R sobre t. 
 
42. (FUVEST 2007) Na figura abaixo , os pontos 
1 2 3 4 5 6A ,A ,A ,A ,A e A são vértices de um hexágono regular de 
lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no 
plano. Os vértices 1 4A e A pertencem ao eixo x. São dados 
também os pontos    B 2,0 e C 0,1  . 
 
 
Considere a reta que passa pela origem e intercepta o segmento 
BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a 
mesma área . Nestas condições determine : 
 
a) a equação da reta OP 
b) os pontos de intersecção da reta OP com o hexágono. 
 
43. (FUVEST 2006) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do 
primeiro quadrante . A reta r é perpendicular à reta s , no ponto A , 
e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C . Determine 
o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da 
área do triângulo OAB. 
 
44. (ITA 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, 
sendo dois de seus vértices os pontos A: (2,1) e B: (3,-2). Sabendo 
que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abscissas, pode-
se afirmar que suas coordenadas são: 
 
A. ( ) (-1/2,0) ou (5, 0) B. ( ) (-1/2,0) ou (4, 0) 
C. ( ) (-1/3,0) ou (5, 0) D. ( ) (-1/3,0) ou (4, 0) 
E. ( ) (-1/5,0) ou (3, 0) 
 
45. (ITA 2002) Num sistema de coordenadas, duas retas r e s , com 
coeficientes angulares 
1
2 e
2
, respectivamente, se interceptam na 
origem 0. Se B r e C s  são dois pontos no primeiro quadrante 
tais que o segmento BC é perpendicular a r e a área do triângulo 
OBC é igual a 112 x10 , então a distância de B ao eixo das 
ordenadas vale: 
A. ( )
8
5
 B. ( )
4
5
 C. ( )
2
5
 D. ( )
1
5
 E. ( )1 
 
46. (FUVEST –2005) Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor 
da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do 
triângulo retângulo ABC é 
5
2
, determine o valor de m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
47. (ITA 2012) As interseções das retas r : x − 3y + 3 = 0, s : x + 2y − 7 = 
0 e t : x + 7y − 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os 
vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura 
igual a 2 unidades de comprimento. Determine: 
 
a) A área total da superfície do prisma. 
b) O volume do prisma. 
 
48. (EN-81) Para que o triângulo de vértices M(-1,8), N(8,-1) e P(x,7) 
tenha área igual a 5, x deve ser: 
 
A. ( )
10
9
 B. ( ) 10 C. ( ) 1 
D. ( )
9
10
 E. ( )
4
5
 
 
 
49. (ITA – 2003) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que 
é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x, y)  R2 : 
3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a: 
 
A. ( ) 6 B. ( )
5
2
 C. ( ) 1 
D. ( )
9
10
 E. ( )
4
5
 
 
50. (IME 2017) Sejam os pontos A(0, 0), B( 1,1), C(1, 2), D(4,1) e 
1
E 3, .
2
 
 
 
 A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o 
pentágono ABCDE em dois polígonos demesma área. Determine a 
soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta 
que liga C e D. 
 
A. ( ) 
25
7
 B. ( ) 
51
14
 C. ( ) 
26
7
 
D. ( ) 
53
14
 E. ( ) 
27
7
 
 
51. (ITA 2016) Se a reta de equação divide o quadrilátero cujos 
vértices são e em duas regiões da 
mesma área, então o valor de a é igual a 
 
A. ( ) B. ( ) C. ( ) 
D. ( ) E. ( ) 
 
 
 
 
 
x a
(0,1), (2, 0), (4, 0) (6, 4)
2 5 1. 2 6 1. 3 5 4.
2 7 2. 3 7 5.
 
 
 5 
52. (ITA 1986) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
sejam A (0, a), B
a
,0
2
 
 
 
, C (0, 2a) pontos dados onde a é um 
número real, a < 0. Sejam as retas: (r) passando por A e B (s) 
passando por C e paralela a (r) 
A área do trapézio (T) delimitado pelos eixos cartesianos e pelas 
retas (r) e (s)vale: 
43a² 3a² 3a²A. ( )3a² B. ( ) C. ( ) D. ( ) 3a² E. ( ) a
4 2 4
 
53. (ITA 2007) Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado 
pelas retas 2x = y, x = 2y e x = - 2y + 10. A área desse triângulo 
mede 
 
A. ( ) 15/2. B. ( ) 13/4. C. ( ) 11/6. 
D. ( ) 9/4. E. ( ) 7/2. 
 
54. (EFOMM-98) Em relação à figura abaixo, podemos afirmar que sua 
área vale: 
 
 
55. (ITA 2012) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados 
e as retas e , em 
unidades de área, é igual a 
 
A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) 
 
56. (UNIFESP 2004) Considere a região sombreada na figura, 
delimitada pelo eixo 0x e pelas retas de equações 
y 2x e x k,k 0   . 
 
 
 
Nestas condições, expresse, em função de k: 
a) a área A(k) da região sombreada 
b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada 
 
57. (UNICAMP2001) Considere, no plano xy , as retas 
y 1, y 2x 5 e x 2y 5 0      . 
 
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC 
formado por essas retas? 
b) Qual é a área do triângulo ABC? 
 
58. (FGV 2006-ADM) Represente no plano cartesiano a região R , dos 
pontos  ;x y , definida pelas condições simultâneas: 
2y 3x 12 0
3y 2x 6 0
4 x 0
y 5
  
  
  

 
e calcule a área da região R representada. 
 
59. (FGV 2006) Represente graficamente a região dada pelas restrições 
y 3 5x
y 1 x
y 2
 
 

 
e calcule sua área. 
 
60. (ITA 2015) Sabe-se que a equação 
 representa a reunião de 
duas retas concorrentes, e formando um ângulo agudo 
Determine a tangente de 
 
61. (UNICAMP 2007) Seja dada a reta x 3y 6 0   no plano xy. 
 
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano 
passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada acima 
? 
b) Para o ponto P com coordenadas  2;5 , determine as equações 
das retas mencionadas no item a). 
 
62. (AFA-2004) A reta (s), simétrica de (r) x - y + 1 = 0 em relação à reta 
(t) 2x + y + 4 = 0, 
 
a) passa pela origem. 
b) forma um ângulo de 60O com (r). 
c) tem - 
1
5
 como coeficiente angular. 
d) é paralela à reta de equação 7y-x+7= 0. 
 
63. (IME 2012) Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta 
r intercepta a curva nos pontos A e B. 
Determine: 
 
a) o lugar geométrico definido pela curva; 
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que 
 
 
64. Obtenha as equações da bissetrizes dos ângulos formados por (r) 3x 
+ 4y = 0 e (s) 8x – 6y-1=0 
 
65. (EN-91) A equação da bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas 
3x + 4y + 1 = 0 e 5x – 12y + 3 = 0 é: 
 
A. ( ) 2x – 2y + 1 = 0 
B. ( ) x – 8y + 1 = 0 
C. ( ) x + 6y = 0 
D. ( ) 7x + 56y – 1 = 0 
E. ( ) 16x – 2y + 7 = 0 
 
66. Conduza pelo ponto P (3,0) uma reta igualmente inclinada em relação 
a (r) y = 2x e (s) x = 2y 
 
 
 
 
r : x 3y 3 0   s : 3x y 21 0  
19
2
10
25
2
27
2
29
2
2 23x 5xy 2y 3x 8y 6 0     
r s, .θ
.θ
2 2x – 2xy – y 0
PA PB 17. 
 
 6 
67. (ITA 1992) A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta 
y mx, m 0  forma com o eixo dos x é: 
 
A. ( ) 
1 1 m²
y x
m
 
 B. ( ) 
1 1 m²
y x
m
 
 
 
C. ( ) 
1 1 m²
y x
m
  
 D. ( ) 
1 1 m²
y x
m
  
 
 
E. ( ) n.d.a. 
68. (ITA 1997) Considere os pontos A: (0, 0), B: (2,0) e C: (0,3). Seja P: 
(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes internas do triângulo 
ABC. Então x + y é igual a: 
 
 
A. ( )  12 / 5 3 B. ( )  8 / 2 11 
C. ( )  10 / 6 13 D. ( )5 
E. ( )2 
 
69. (ITA-90) Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamente pelas 
equações 3x - 4y + 12 = 0 e 3x - 4y + 4 = 0. Considere ( λ ) o lugar 
geométrico dos centros das circunferências que tangenciam 
simultaneamente (r) e (s). Uma equação que descreve ( λ ) é dada 
por: 
 
A. ( ) 3x - 4y + 8 = 0 
B. ( ) 3x + 4y + 8 = 0 
C. ( ) x - y + 1 = 0 
D. ( ) x + y = 0 
E. ( ) 3x - 4y - 8 = 0 
 
70. (IME 2016) O lugar geométrico dos pontos em 
2
 equidistantes às 
retas de equações 
 
4x 3y 2 0   e 12x 16y 5 0   , é: 
 
 A. 4x 28y 13 0   
 B. 8x 7y 13 0   
 C. 28x 4y 3 0   
  2 2D. 56x 388y 184x 56y 16y 19 0      
  2 2E. 112x 768xy 376x 112y 32y 39 0      
 
71. (ITA 2012) Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar 
geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da 
bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas 
por 
 
A. ( ) 
B. ( ) 
C. ( ) 
D. ( ) 
E. ( ) 
 
 
 
 
 
72. (FUVEST – 2004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices 
de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. Sabendo-se que A 
=(0,0), B pertence à reta x - 2y = 0 e P =(3,4) é o centro da 
circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas 
 
a) do vértice B. 
b) do vértice C. 
 
73. (IME-84/85) Encontre os valor de k para que a reta determinada pelos 
pontos A(0,3) e B(5, –2) seja tangente à curva y = k/(x+1) para x ≠ –
1. 
 
74. (IME-84/85) Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1(–1, –3) e 
intercepta a reta m2: 3x + 2y – 6=0 no ponto A e a reta m3: y – 3 = 0 
no ponto B. Determinar a equação do lugar geométrico do ponto 
médio do segmento retilíneo AB à medida que a reta m1 gira em torno 
do ponto P1. 
 
75. (IME-88/89) Determine o valor de c, de modo que a reta que passa 
pelos pontos (0, 3) e (5, -2) seja tangente à curva . 𝑦 =
𝑐
𝑥+1
, x ≠ –1 
 
76. (IME-88/89) Um ponto se move de modo que, o quadrado de sua 
distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto de suas 
distâncias aos outros dois lados do triângulo. Determine a equação da 
trajetória deste ponto; identificando a curva descrita e respectivos 
parâmetros. 
 
77. (IME-94/95) Seja ABC um triângulo qualquer no qual os vértices B e 
C são fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto A, 
variável, sabendo que as ângulos B e C satisfazem à relação tg B.tg 
C = k, k constante real. Discuta a solução para diversos valores de k. 
Sugestão: Considere como eixos coordenados as retas BC e a 
mediatriz do segmento BC. 
 
78. (ITA 2017) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de 
um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área 
deste quadrado é 
A. ( )
9
5
 B. ( )
12
5
 C.( ) 
18
5
 
 
D.( ) 
21
5
 E.( )
24
5
 
79. (ITA 2017) Considere as retas de equações 
 
r : y 2x a  e s : y bx c,  
 
em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares 
entre si, com r passando por (0,1) e s, por ( 2, 4), determine a 
área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
1,2r : 2y x 2 4 2 0   
1,2
2
r : y x 2 10 2 0
2
   
1,2r : 2y x 2 10 2 0   
1,2r : ( 2 1)y x 2 4 2 0    
1,2r : ( 2 1)y x 2 4 2 0    
 
 7 
80. (FGV 2013) Na figura, AC e BD são diagonais do quadrado 
ABCD de lado x, M e N são pontos médios de AB e BC , 
respectivamente. 
 
 
 
a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função de x. 
b) Calculeo perímetro do quadrilátero PQRS, em função de x. 
 
GABARITO 
 
1. B 
2. A) 3,6,9 B) 36√2 + 9 
3. A) Q=(0,b) , 𝑃 = (−
𝑏
𝑎
, 0) 𝑅 = (
𝑏
2(𝑏−𝑎)
,
(2𝑏−𝑎)𝑏
2(𝑏−𝑎)
) 
B)𝑎 = −8, 𝑏 = 4, 𝑐 = 16 
4. E 
5. A 
6. B 
7. A 
8. D 
9. C 
10. D 
11. E 
12. D=(-2,-6), 450 e 1350 
13. A 
14. A 
15. B 
16. 4𝑥 − 5𝑦 − 20 = 0 
17. B 
18. B 
19. B 
20. 𝑂 = (
7
22
,
61
22
) e 𝑅 =
√955
11
 
21. 𝐴 
22. D 
23. A 
24. B 
25. B 
26. C (FGV) A (ITA) 
27. C 
28. B 
29. D 
30. A) 𝑦 =
𝑎
2𝑏
𝑥 B) 𝐶 = (
2𝑏
3
,
𝑎
3
) 
31. A) 𝑆 =
(17𝑢+8)(8−𝑢)
54
 B) 
64
17
 
32. B 
33. E 
34. A) (
11
14
,
14
11
), b) DEMO 
35. A 
36. E 
37. D 
38. A) 𝐴(3,2), 𝐵(4,1), 𝐶(6,5) 𝐵) 6 
39. B 
40. D 
41. 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2 = 0, 𝑥 ≠ −1 
42. A) 𝑦 =
1
2
𝑥 B) (
36−6√3
11
,
18−3√3
11
) e (
6√3−36
11
,
3√3−18
11
) 
43. 
√2
2
 
44. C 
45. C 
46. 𝑚 = 2 +
5√2
2
 
47. A) 𝐴𝑇 = 2(5 + √10 + √20 + √50) B) V=10 
48. A 
49. B 
50. C 
51. D 
52. B 
53. A 
54. D 
55. D 
56. A) 𝑘2 B) 3𝑘 + √5𝑘 
57. A)(3,1) , (−3,1) (5,5) b) 12 
58. 
3757
156
 
59. Sem resposta 
60. 7 
61. A) duas retas b) 2𝑥 − 𝑦 = −1 𝑒 𝑥 + 2𝑦 = 12 
62. D 
63. A) Par de retas perpendiculares 
𝑦 = (√2 − 1)𝑥 𝑒 𝑦 = −(√2 + 1)𝑥 
B) retas 
𝑦 = 𝑥 + 1 
𝑥 = 2 
𝑦 = −𝑥 + 5 
𝑦 = 3 
 
64. −2𝑥 + 14𝑦 + 1 = 0 ou 14𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 
65. D 
66. 𝑥 − 𝑦 = 3 ou 𝑥 + 𝑦 = 3 
67. D 
68. A 
69. A 
70. E 
71. E 
72. A) B=(6,3) B) C=(2,11) 
73. K=4 
74. 4𝑦2 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦 = 45 
75. C=4 
76. Se h é altura do triangulo e 𝑡𝑔𝜃 a tangente dos ângulos da base 
temos 
𝑥0
2 + (𝑦0 +
ℎ
𝑡𝑔𝜃2
)
2
= (ℎ𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃)2 , se |𝑚𝐴𝑃| >
𝑡𝑔𝜃 
(𝑥0𝑡𝑔𝜃)
2 − (𝑦0√2 + 𝑡𝑔𝜃
2 −
ℎ
√2+𝑡𝑔𝜃2
)
2
=
ℎ2
2+𝑠𝑒𝑛𝜃2
 
se |𝑚𝐴𝑃| < 𝑡𝑔𝜃 
77. 𝐴 = (𝑥0, 𝑦0), 𝐵 = (−𝑑, 0), 𝐶 = (𝑑, 0) 
 
𝑦0
2
𝑘
+ 𝑥0
2 = 𝑑2 
 
78. C 
79. 
22 121 2
S
2 12
  
80. A) 
22x
.
5
 b) 
(5 2 3 5)x
15
