Seja P (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Para quantos polinômios Q(x) existe um polinômio R(x), de grau 3, tal que P (Q(x)) = P (x) · R(x)?

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade de que se P(Q(x)) = P(x) * R(x), então as raízes de Q(x) são as mesmas de P(x). Como P(x) tem grau 3 e suas raízes são 1, 2 e 3, então Q(x) também deve ter essas mesmas raízes. Além disso, Q(x) deve ter grau menor ou igual a 3, já que R(x) tem grau 3. Assim, podemos escrever Q(x) como Q(x) = a(x-1)(x-2)(x-3), onde a é uma constante. Como Q(x) tem grau 3, então a não pode ser igual a zero. Portanto, existe apenas uma única possibilidade para Q(x), que é Q(x) = a(x-1)(x-2)(x-3), onde a é qualquer número real diferente de zero.