Lista 1_ Polinômios

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Polinômios I
Prof. Cı́cero Thiago
Definição. Um polinômio na variável x é uma expressão que pode ser escrita na
forma
P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0,
onde n ∈ N e ai (i = 0, 1, . . . , n), chamados coeficientes, são números em algum
dos conjuntos (Z,Q,R,C). O número n será chamado de grau do polinômio e re-
presentado por n = degP . Chamamos de coeficiente ĺıder o coeficiente do termo de
maior grau, nesse caso an, e chamamos de termo independente o coeficiente a0. Um
polinômio com todos os coeficientes iguais a zero é chamado de polinômio nulo. Um
polinômio com coeficiente ĺıder igual a 1 é chamado de polinômio mônico.
Definição. Polinômios podem ser adicionados, subtráıdos e multiplicados e o resul-
tado também é um polinômio:
A(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n, B(x) = b0 + b1x+ b2x
2 + . . .+ bmx
m
A(x)± B(x) = (a0 ± b0) + (a1 ± b1)x+ . . . ,
A(x) · B(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ . . .+ anbmxn+m.
Teorema 1. Se A e B são dois polinômios então:
i. deg(A± B) ≤ máx(degA, degB), com igualdade ocorrendo se degA 6= degB.
ii. deg(A · B) = degA+ degB.
Definição. Seja c um número, o número P (c) = anc
n+an−1c
n−1+ . . .+a1c+a0 é cha-
mado de valor numérico do polinômio aplicado ao número complexo c. Se P (c) = 0,
dizemos que c é um zero ou raiz do polinômio P (x).
Definição. Dizemos que um polinômio P é identicamente nulo quando P assume o
valor numérico zero para todo x complexo. Ou seja,
P ≡ 0 ⇔ P (x) = 0, ∀x ∈ C.
Teorema 2. Um polinômio P é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de P
forem nulos.
Definição. Dizemos que dois polinômios P (x) = anx
n + . . . + a1x + a0 e Q(x) =
bnx
n + . . .+ b1x+ b0 são iguais quando assumem valores iguais para todo complexo
x.
Teorema 3. Os polinômios P (x) = anx
n+. . .+a1x+a0 e Q(x) = bnx
n+. . .+b1x+b0
são iguais se, somente se, aj = bj , para 0 ≤ j ≤ n.
Teorema 4. Dados dois polinômios P (x) e M(x) 6= 0 , dividir P (x) por M(x) é
determinar dois outros polinômios Q(x) e R(x) de modo que se verifiquem as duas
condições seguintes:
(a) P (x) = M(x) ·Q(x) +R(x).
(b) O grau de R(x) é menor que o grau de M(x) ou R(x) = 0, caso em que a divisão
é exata.
Teorema 5. Seja P (x) um polinômio tal que x − a é um fator de P (x), então
P (a) = 0.
Demonstração. Se x−a é um fator de P (x), então P (x) = (x−a) ·Q(x) para algum
polinômio Q(x). Fazendo x = a temos que P (a) = (a − a) · Q(a) = 0 · Q(a) = 0,
então a é uma raiz de P (x).
Teorema 6. Seja P (x) um polinômio tal que P (a) = 0, então x − a é um fator de
P (x).
Demonstração. Se a é uma raiz de P (x), então P (a) = 0. Pelo algoritmo da divisão,
temos que o resto quando P (x) é dividido por x − a é P (a). Como P (a) = 0 então
o resto é zero. Isto mostra que x− a é um fator de P (x).
Dispositivo de Briot - Ruffini
Dados os polinômios P (x) = anx
n+an−1x
n−1+ . . .+a1x+a0, an 6= 0 e M(x) = x−a.
Nosso desejo é determinar o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de P (x) por
M(x). Seja Q(x) = qn−1x
n−1 + qn−2x
n−2 + . . .+ q0, então:
(qn−1x
n−1 + qn−2x
n−2 + . . .+ q0) · (x− a) =
qn−1x
n + qn−2x
n−1 + . . .+ q0x− aqn−1xn−1 − aqn−2xn−2 − . . .− aq1x− aq0 =
qn−1x
n + (qn−2 − aqn−1)xn−1 + . . .+ (q0 − aq1)x− aq0
Fazendo P (x) = Q(x) · (x− a) +R(x), temos:
qn−1 = an
qn−2 − aqn−1 = an−1 ⇒ qn−2 = aqn−1 + an−1
...
q0 − aq1 = a1 ⇒ q0 = aq1 + a1
R(x)− aq0 = a0 ⇒ R(x) = aq0 + a0
Exemplo. Vamos achar o quociente e o resto da divisão de P (x) = 2x4−7x2+3x−1
por M(x) = x− 3. Para isso usaremos o dispositivo de Briot - Ruffini:
3 2 0 −7 3 −1
2 2 · 3 + 0 6 · 3− 7 11 · 3 + 3 36 · 3− 1
2
3 2 0 −7 3 −1
2 6 11 36 107
Portanto, Q(x) = 2x3 + 6x2 + 11x+ 36 e R(x) = 107.
Teorema 7. (Teorema Fundamental da Álgebra) Todo polinômio de coefici-
entes complexos P (x) e de grau n ≥ 1 possui n ráızes complexas (podendo ou não
serem reais puras).
Teorema 8. Seja P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0 um polinômio de grau n
(n ≥ 1) e an 6= 0, então
P (x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn),
em que x1, x2, . . . , xn são as ráızes de P (x).
Teorema 9. (Lagrange) Dados n ∈ N, a0, a1, . . . , an e b0, b1, . . . , bn números
complexos com a0, a1, . . . , an distintos, existe um único polinômio P (x), de grau
no máximo n, tal que
P (αi) = βi, 0 ≤ i ≤ n.
Demonstração.
Vamos inicialmente determinar o polinômio. Para isto, observe os polinômios
Dk(x) =
(x− α0)(x− α1) . . . (x− αk−1)(x− αk+1) . . . (x− αn)
(αk − α0)(αk − α1) . . . (αk − αk−1)(αk − αk+1) . . . (αk − αn)
é fácil ver que
Dk(αi) =
{
1, i = k
0, i 6= k
Agora multiplique Dk(x) pelo número βk e, então, adicione todos esses polinômios
resultando no polinômio
P (x) =
n
∑
k=0
βkDk(x)
que satisfaz as condições do enunciado. Para demonstrar a unicidade sejam P1 e
P2 dois polinômios, que satisfazem as condições impostas. O polinômio H(x) =
P1(x)−P2(x) tem grau no máximo n e possui n+1 ráızes α0, α1, . . . , αn, portanto,
é identicamente nulo. Com isso, P1(x) ≡ P2(x).
O polinômio Dk(x) não caiu do céu, então vamos ver a sua construção. Temos que
3
Dk(αi) =
{
1, i = k
0, i 6= k
Como Dk(αi) = 0 para todo i 6= k, então
Dk(x) = C(x− α0) . . . (x− αk−1)(x− αk+1) . . . (x− αn).
Para determinar o valor de C vamos substituir x = αk e usar a condição Dk(αk) = 1.
Então,
1 = C(αk − α0) . . . (αk − αk−1)(αk − αk+1) . . . (αk − αn).
Portanto,
Dk(x) =
(x− α0)(x− α1) . . . (x− αk−1)(x− αk+1) . . . (x− αn)
(αk − α0)(αk − α1) . . . (αk − αk−1)(αk − αk+1) . . . (αk − αn)
.
Exerćıcios Resolvidos
1. Determine as constantes a, b e c tais que
(2x2 + 3x+ 7)(x2 + bx+ c) = 2x4 + 11x3 + 9x2 + 13x− 5.
Solução. A única maneira de produzir um termo x4 expandindo o produto
do lado esquerdo da igualdade é multiplicando (2x2)(ax2) = 2ax4, assim, 2a =
2 ⇔ a = 1. Vamos agora encontrar as constantes b e c tais que
(2x2 + 3x+ 7)(ax2 + bx+ c) = 2x4 + 11x3 + 9x2 + 13x− 5.
Vamos agora olhar para o termo x3. No lado direito, temos 11x3 e, no lado
esquerdo na expansão teremos (2x2)(bx) e (3x)(x2) e, portanto, 2bx3 + 3x3 =
11x3 ⇔ 2b+ 3 = 11 ⇔ b = 4. Necessitamos encontrar c e, para isso, temos que
7c = 35 ⇔ c = 5.
2. Sejam a, b, c e d as ráızes (nos complexos) do polinômio x4+6x2+4x+2. En-
contre um polinômio p(x), do quarto grau, que tenha como ráızes a2, b2, c2 e d2.
Solução. Seja Q(x) = x4+6x2+4x+2 = (x−a)(x−b)(x−c)(x−d). Queremos
encontrar
P (x) = (x− a2)(x− b2)(x− c2)(x− d2).
Fazendo x = y2,
P (y2) = (y2 − a2)(y2 − b2)(y2 − c2)(y2 − d2)
4
= (y + a)(y − a)(y + b)(y − b)(y + c)(y − c)(y + d)(y − d)
[(y − a)(y − b)(y − c)(y − d)][(y + a)(y + b)(y + c)(y + d)]
Q(y)Q(−y).
Assim,
P (y2) = (y4 + 6y2 + 4y + 2)(y4 + 6y2 − 4y + 2)
= (y4 + 6y2 + 2)2 − (4y2)2
y8 + 12y6 + 40y4 + 8y2 + 4.
Voltando para a variável x pela substituição y2 = x, temos:
P (x) = x4 + 12x3 + 40x2 + 8x+ 4.
3. Determine o número de ráızes reais da equação
x1994 − x2 + 1 = 0.
(a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 1994
Solução. (A) Se |x| < 1 então 1− x2 > 0 e x1994 ≥ 0 o que implica
x1994 − x2 + 1 > 0.
Se |x| ≥ 1 então x1994 − x2 = x2(x1992 − 1) e, com isso,
x1994 − x2 + 1 > 0,
portanto a equação não possui ráızes reais.
4. Seja f(x) = x4 + 17x3 + 80x2 + 203x + 125. Determine o polinômio, g(x), de
menor grau posśıvel, tal que f(3±
√
3) = g(3±
√
3) e f(5±
√
5) = g(5±
√
5).
Solução. Seja g(x) o polinômio que desejamos encontrar e h(x) um polinômio
tal que h(x) = f(x)−g(x). Com isso h(3±
√
3) = 0 e h(5±
√
5) = 0. Portanto,
f(x)− g(x) = h(x) = a(x)(x− 3−
√
3)(x− 3+
√
3)(x− 5−
√
5)(x− 5+
√
5) ⇔
f(x)− g(x) = h(x) = a(x)(x4 − 16x3 + 86x2 − 180x+ 120) ⇔
g(x) = f(x)− a(x)(x4 − 16x3 + 86x2 − 180x+ 120) ⇔
g(x) = x4 + 17x3 + 80x2 + 203x+ 125− a(x)(x4 − 16x3 + 86x2 − 180x+ 120).
Finalmente, g(x) terá grau menor que 4 se, e somente se, a(x) ≡ 1. Nesse caso
g(x) = 33x3 − 6x2 + 383x+ 5.
5
5. Determine todos os polinômios f com coeficientes reais tais que
(x− 27)f(3x) = 27(x− 1)f(x)
para todo número real x.
Solução.Considere a equação
(x− 27)f(3x) = 27(x− 1)f(x) (1)
Se x = 27 temos que 0 = 0 ·f(81) = 27 ·26 ·f(27), então f(27) = 0. De maneira
análoga, se x = 1 temos que 0 = 27 · 0 · f(1) = −26 · f(3) então f(3) = 0.
Com isso, f(x) = (x − 3)(x − 27)q(x). Substituindo esse resultado encontrado
na equação inicial temos que
(x− 27)(3x− 3)(3x− 27)q(3x) = 27(x− 1)(x− 3)(x− 27)q(x).
Para x 6= 1, 27 temos que
(x− 9)q(3x) = 3(x− 3)q(x). (2)
Agora, se x = 3 temos que 0 = 3 · 0 · q(3) = −6q(9), ou seja, q(9) = 0, assim
q(x) = (x− 9)g(x) que substituiremos na equação (2) obtendo
(x− 9)(3x− 9)g(3x) = 3(x− 3)(x− 9)g(x),
que para x 6= 1, 3, 9, 27 resulta g(3x) = g(x).
Em particular, se x = 2 então g(2) = g(6) = g(18) = . . . = g(2 ·3k), ∀k. Assim,
g(x) = g(2) possui infinitas ráızes, o que é imposśıvel, ou g(x) é uma constante,
digamos g(x) = a.
Finalmente, q(x) = a(x− 9) e f(x) = a(x− 3)(x− 9)(x− 27), a ∈ R.
6. Prove que o polinômio 4x8− 2x7 +x6− 3x4+x2−x+1 não possui ráızes reais.
Solução. Temos que
P (x) = 4x8 − 2x7 + x6 − 3x4 + x2 − x+ 1 ⇔
P (x) = 3 ·
(
x4 − 1
2
)2
+
[
x3 (x− 1)
]2
+
(
x− 1
2
)2
.
6
Portanto, P (x) é uma soma de quadrados. Para que P (x) = 0 todos os quadra-
dos precisam ser iguais a zero, assim teremos que as duas igualdades x = ± 4
√
1
2
e x =
1
2
devem acontecer simultaneamente, absurdo. Finalmente, P (x) não
possui ráızes reais.
7. Seja F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 +Fn e seja f um polinômio de grau 990 tal que
f(k) = Fk, k ∈ {992, 993, . . . , 1982}. Mostre que f(1983) = F1983 − 1.
Solução. Temos que f(k + 992) = Fk+992, para k = 0, 1, . . . , 990 e precisamos
provar que f(992 + 991) = F1983 − 1. Seja g(x) = f(x + 992), que também
possui grau 990. Nosso novo problema é tal que se g(k) = Fk+992, para k =
0, 1, . . . , 990, então g(991) = F1983 − 1. Usando o polinômio interpolador de
Lagrange temos que
g(x) =
990
∑
k=0
g(k) · (x− 0)(x− 1) . . . (x− k + 1)(x− k − 1) . . . (x− 990)
(k − 1)(k − 2) . . . 1 · (−1) . . . (k − 990) .
Então
g(991) =
990
∑
k=0
g(k)
(
991
k
)
(−1)k =
990
∑
k=0
(
991
k
)
Fk+992(−1)k.
Sabemos que Fn =
an − bn√
5
, em que a =
1 +
√
5
2
e b =
1−
√
5
2
. Assim,
990
∑
k=0
(
991
k
)
Fk+992(−1)k =
1√
5
[
990
∑
k=0
(
991
k
)
ak+992(−1)k −
990
∑
k=0
(
991
k
)
bk+992(−1)k
]
.
Usando binômio de Newton temos que
990
∑
k=0
(
991
k
)
ak+992(−1)k = a992
990
∑
k=0
(
991
k
)
(−a)k = a992
[
(1− a)991 + a991
]
.
Mas a2 = a + 1, então
a992
[
(1− a)991 + a991
]
= a(a− a2)991 + a1983 = −a + a1983.
Temos que b2 = b+ 1 então
7
990
∑
k=0
(
991
k
)
Fk+992(−1)k =
1√
5
(a1983 − b1983 − a+ b)
=
a1983 − b1983√
5
− a− b√
5
= F1983 − 1.
8. Sejam a, b, c, d, e e f números inteiros positivos. Se S = a + b+ c+ d+ e + f
divide abc + def e ab+ bc+ ca− de− ef − fd. Prove que S é composto.
Solução. Todos os coeficientes do polinômio
f(x) = (x+ a)(x+ b)(x+ c)− (x− d)(x− e)(x− f)
= Sx2 + (ab+ bc+ ca− de− ef − fd)x+ (abc+ def)
são múltiplos de S. Então, f(d) = (a + d)(b + d)(c + d) é um múltiplo de S.
Isto implica que S é composto pois a+ d, b+ d e c+ d são menores que S.
Exerćıcios propostos
1. Seja P (x) = a2000x
2000 + a1999x
1999 + a1998x
1998 + . . .+ a1x+ a0. Então a2000 +
a1998 + a1996 + . . .+ a0 é igual a:
(a)
P (1)− P (−1)
2
(b)
P (1) + P (−1)
2
(c) P (2000)+P (1998)+ . . .+P (0) (d)
P (0) · P (1) (e) P (−1) · P (1)
2. O polinômio
P (x) = xn + a1x
n−1 + a2x
n−2 + . . .+ an−1x+ an
com coeficientes inteiros a1, a2, . . . , an, é tal que existem quatro inteiros dis-
tintos a, b, c, d tais que
P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 5,
mostre que não existe um inteiro k tal que P (k) = 8.
3. Se x2+2x+5 é um fator de x4+px2+q, os valores de p e q são, respectivamente:
(a) −2, 5 (b) 5, 25 (c) 10, 20 (d) 6, 25 (e) 14, 25
8
4. Determine o valor de
a
b
se 2x4 − 3x3 + ax2 + 7x+ b é diviśıvel por x2 + x− 2.
5. O resto R(x) obtido pela divisão de x100 por x2 − 3x + 2 é um polinômio de
grau menor que 2. Determine R(x).
6. Determine o resto da divisão de x3 − 2 quando dividido por x2 − 2.
7. Determine o produto dos coeficientes do resto da divisão de x100−4x98+5x+6
por x3 − 2x2 − x+ 2.
8. Qual o resto da divisão de x18 + 1 por x− 1?
9. Se P (x) = ax2 + bx + c deixa resto 4 quando dividido por x, deixa resto 3
quando dividido por x+1 e deixa resto 1 quando dividido por x−1. Determine
o valor de P (2).
10. Um polinômio f(x) deixa resto c quando dividido por x − a e deixa resto d
quando dividido por x−b. Determine o resto da divisão de f(x) quando dividido
por (x− a)(x− b).
11. Determine os valores de a e b se f(x) = x4 − 5x3 +11x2 + ax+ b é diviśıvel por
g(x) = (x− 1)2.
12. Seja (1 + x + x2)n = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + a2nx
2n. Determine o valor de
a0 + a2 + a4 + . . .+ a2n.
13. Determine as outras duas ráızes de P (x) = 6x3 + 19x2 + 2x − 3 se uma das
ráızes é igual a −3.
14. O gráfico do polinômio P (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e tem 5 pontos de
intersecção com o eixo x, uma delas o ponto (0, 0). Qual dos coeficientes não
pode ser zero?
(a) a (b) b (c) c (d) d (e) e
15. Um polinômio P (x) deixa resto 3 quando dividido por x − 1 e deixa resto
5 quando dividido por x − 3. Determine o resto da divisão de P (x) quando
dividido por (x− 1)(x− 3).
16. Seja f(x) = x3 + 7x2 − x + 11 e d(x) = x − 5. Determine o polinômio q(x) e
uma constante r tais que
f(x)
d(x)
= q(x) +
r
d(x)
.
9
17. Seja P (x) um polinômio tal que P (x) quando dividido por x− 19, deixa resto
99 e quando dividido por x − 99, deixa resto 19. Determine o resto da divisão
de P (x) por (x− 19)(x− 99).
18. Determine o resto da divisão de x81 + x49 + x25 + x9 + x por x3 − x.
19. Quando dividimos y2 +my + 2 por y − 1, obtemos quociente f(y) e resto R1.
Quando dividimos y2 +my + 2 por y + 1, obtemos quociente g(y) e resto R2.
Se R1 = R2, determine m.
20. Um polinômio P (x) dividido por x+ 1 tem como resto 4, e dividido por x2 + 1
deixa resto 2x+ 3. Calcular o resto da divisão de P (x) por (x+ 1)(x2 + 1).
21. Seja P (x) um polinômio de grau n, cujo coeficiente do termo ĺıder (termo de
grau N) é igual a n!2n. Mostre que se as ráızes de P (x) são os n primeiros
números naturais ı́mpares, então |P (0)| = (2n)!.
22. Determine todos os números inteiros a e b de modo que uma das ráızes da
equação 3x3 + ax2 + bx+ 12 = 0 seja 1 +
√
3.
23. Seja P um polinômio do quarto grau, sem termo independente, que verifica a
idantidade P (x)− P (x− 1) ≡ x3.
(a) Determine P .
(b) Mostre a igualdade 13 + 23 + . . .+ n3 =
[
n(n + 1)
2
]2
.
24. (a) Determine a função polinomial P , de grau 3, que apresenta uma raiz nula e
satisfaz a condição P (x− 1) = P (x) + 25x2, para todo x real.
(b) Calcular, em função de n, a soma 25 + 100 + 225 + . . .+ (5n)2.
25. Determine as ráızes reais da equação x6 − (a2 + 1)x2 + a = 0, onde a é um
parâmetro real positivo.
26. (ITA) Dividindo o polinômio x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o
quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x+ 1. O Polinômio Q(x) satisfaz
(a) Q(2) = 0. (b) Q(3) = 0. (c) Q(0) 6= 0 (d) Q(1) 6= 0 (e) n. r. a
27. (ITA) Os valores reais a e b, tais que os polinômios
x3 − 2ax2 + (3a+ b)x− 3b e x3 − (a+ 2b)x+ 2a
10
sejam diviśıveis por x+ 1 são
(a) dois números inteiros positivos.
(b) dois números inteiros negativos.
(c) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro negativo.
(d) dois números reais, sendo um racional e outro irracional.
(e) nenhuma das respostas anteriores.
28. Mostre que se o resto da divisão de um polinômio f(x) por x − a é r, então o
resto da divisão de f(x) por c(x− a) é também r para qualquer constante c.
29. Prove que se um polinômio f(x) deixa um resto da forma px + q quando di-
vidido por (x − a)(x − b)(x − c), em que a, b e c são todos distintos, então
(b− c)f(a) + (a− b)f(b) + (a− b)f(c) = 0.
30. O elemento da i - ésima linha e j - ésima coluna de uma matriz n × n é igual
a ai + bj , onde a1, a2, . . . , an,b1, b2, . . . , bn são números reais distintos. Os
produtos dos números em cada linha são iguais. Prove que os produtos dos
números em cada coluna também são iguais.
31. Seja P (x) um polinômio de grau 2 tal que P (0) = cos3 10◦, P (1) = cos 10◦ sin2 10◦
e P (2) = 0. Determine P (3).
32. Se f é um polinômio de grau n tal que f(i) = 2i para i = 0, 1, . . . , n, determine
f(n+ 1).
33. f(x) é um polinômio de grau maior que 3. Se f(1) = 2, f(2) = 3 e f(3) = 5,
determine o resto da divisão de f(x) por (x− 1)(x− 2)(x− 3).
34. (IME) Sejam a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de
variável real,
f(x) = a2
(x− b)(x− c)
(a− b)(a− c) + b
2
(x− c)(x− a)
(b− c)(b− a) + c
2
(x− a)(x− b)
(c− a)(c− b) ,
obtém - se f(x) igual a:
(a) x2 − (a+ b+ c)x+ abc (b) x2 + x− abc (c) x2 (d) −x2 (e) x2 − x+ abc
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35. (ITA) Se P (x) é um polinômio do 5◦ grau que satisfaz as condições:
1 = P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) e P (6) = 0,
então temos
(a) P (0) = 4. (b) P (0) = 4. (c) P (0) = 9. (d) P (0) = 2. (e) n. r. a
36. (ITA) Dada a equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em que m é uma
constante real, considere as seguintes afirmações:
I. Se m ∈ ]−6, 6[, então existe apenas uma raiz real.
II. Se m = −6 ou m = 6, então existe uma raiz com multiplicidade 2.
III. ∀m ∈ R, todas as ráızes são reais.
Então, podemos afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas:
(a) I (b) II (c) III (d) II e III (e) I e II
37. Determine um polinômio com coeficientes inteiros que possui
√
2+ 3
√
3 como raiz.
38. (ITA) (a) Mostre que o número real α =
3
√
2 +
√
5 +
3
√
2−
√
5 é a raiz da
equação x3 + 3x− 4 = 0.
(b) Conclua de (a) que α é um número racional.
39. Seja P (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Para quantos polinômios Q(x) existe um
polinômio R(x), de grau 3, tal que
P (Q(x)) = P (x) · R(x)?
40. (IME) Considere o polinômio de grau mı́nimo, cuja representação gráfica passa
pelos pontos P1(−2,−11), P2(−1, 0), P3(1, 4) e P4(2, 9).
(a) Determine os coeficientes do polinômio.
(b) Determine todas as ráızes do polinômio.
41. (IME) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa
o somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais,
(
n
∑
k=1
k2
)
.
42. (IME) Prove que o polinômio P (x) = x999 + x888 + · · ·+ x111 +1 é diviśıvel por
x9 + x8 + . . .+ x+ 1.
12
43. Seja P (x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que P (17) = 10 e P (24) =
17. Se a equação P (n) = n+3 possui duas soluções distintas n1 e n2, determine
o valor de n1 · n2.
44. Determine todos os polinômios satisfazendo a equação polinomial (x+1)P (x) =
(x− 10)P (x+ 1).
Respostas
1. B 3. D 4. −2 5. 2100(x − 1) − (x − 2) 6. 2x − 2 7. 10 8. 2 9. −6 10.
c− d
a− bx +
ad− bc
a− b 11. a = −11, b = 4 12.
3n + 1
2
13. D 14. x + 2 15. x + 2
16.q(x) = x2+12x+59 e r = 306 17. −x+118 18. 5x 19. m = 0 20. 3
2
x2+2x+
9
2
22. a = −12 e b = 6 23. (a) x
4
4
+
x3
2
+
x2
4
24. (a) P (x) = −25
3
x3− 25
2
x2− 25
6
x e (b)
25n(n+ 1)(2n+ 1)
6
25.x = ±√a e x = ±
√
−a +
√
a2 + 4
2
26. D 27. C 31.
√
3
2
32. 2n+1−1 33. x
2
2
−x
2
+2 34. C 35. D 36. E 37. x6−6x4−6x3+12x2−36x+1 = 0
39. 22 40. (a) a = 1, b = −1, c = 1, d = 3 e −1, 1 +
√
2i e 1−
√
2i 41.
n3
3
+
n2
2
+
n
6
43. 418 44. P (x) = ax(x− 1)(x− 2) . . . (x− 10)
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