Exercício 41 – (FUVEST, 2017) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado ????????̅̅ ̅̅ e N o ...

Para resolver esse exercício, precisamos primeiro identificar os pontos médios dos lados do retângulo. Sabemos que AB = 4 e BC = 2, então o ponto médio de AB é o ponto P(2,0) e o ponto médio de BC é o ponto Q(4,1). Em seguida, traçamos os segmentos EF e GH paralelos a AB, onde G é o ponto de interseção de EF e BC e H é o ponto de interseção de GH e AB. Como EF e GH são paralelos a AB, temos que GH = 4 e EF = 2. Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos E e F. Sabemos que E está em GH e F está em EF, então podemos escrever as equações das retas GH e EF e encontrar seus pontos de interseção com o segmento MN. A equação da reta GH é y = x/2 + 1 e a equação da reta EF é y = -x/2 + 1. Substituindo x = 2t + 2 (onde t varia de 0 a 1) na equação de GH e x = 4t (onde t varia de 0 a 1) na equação de EF, obtemos as coordenadas dos pontos E e F: E(2t + 2, t + 1) e F(4t, 1 - 2t) Agora, podemos calcular a área do triângulo AEF usando a fórmula da área de um triângulo: Área(AEF) = |(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2)/2| Substituindo as coordenadas dos pontos A, E e F, obtemos: Área(AEF) = |(0 + (2t + 2)(1 - 0) + 4(0) - 0 - (2t + 2)(0) - 4(1 - 0))/2| = |(2t + 2)/2| = |t + 1| Integrando essa expressão de t = 0 a t = 1, obtemos: Área(AEF) = ∫0¹ |t + 1| dt = [(t + 1)^2/2] de 0 a 1 = 3/2 Portanto, a área do triângulo AEF é 3/2. A alternativa correta é a letra E) 23/20.