Questão 32. (ITA - 2010) A equação em x, e arctg e 2 arccot g , x \ 0 , 4e 1 A ( ) admite infinitas soluções, todas positivas. B ( ) admite uma ú...

Para resolver essa questão, é necessário utilizar as propriedades das funções trigonométricas arctan e arccot. Começando pela equação dada: e^(arctan(x) + 2arccot(g)) = 4 Podemos reescrevê-la em termos de tangente e cotangente: e^(arctan(x)) * e^(2arccot(g)) = 4 Substituindo as expressões para arctan e arccot em termos de tangente e cotangente: e^(arctan(x)) * e^(2arccot(g)) = 4 e^(arctan(x)) * e^(2π/2 - arctan(g)) = 4 e^(arctan(x)) * e^(π - arctan(g)) = 4 e^(arctan(x)) * (1/g) * e^(π - arctan(1/g)) = 4 Simplificando: e^(arctan(x)) * (1/g) * (g/(g^2 + 1)) = 4 e^(arctan(x)) / (g^2 + 1) = 4 Isolando a exponencial: e^(arctan(x)) = 4(g^2 + 1) Tomando o logaritmo natural dos dois lados: arctan(x) = ln(4(g^2 + 1)) Resolvendo para x: x = tan(ln(4(g^2 + 1))) Agora, podemos analisar as alternativas: A) admite infinitas soluções, todas positivas. B) admite uma única solução, e esta é positiva. C) admite três soluções que se encontram no intervalo (0, 1). D) admite apenas soluções negativas. E) não admite solução. Como a função tangente é periódica, com período π, a função x = tan(ln(4(g^2 + 1))) também é periódica. Portanto, a alternativa A é verdadeira, pois existem infinitas soluções para x. Além disso, como a função tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrantes, todas as soluções são positivas. A resposta correta é a alternativa A.