29. Prove que: a) arctg arctg arctg arctg      1 1 1 1 3 5 7 8 4 b) arctg arctg    2 1 3 5 4 c) arccotg arccotg    1 4 3 9 5 4 d) arccot...

Para provar as igualdades trigonométricas, é necessário utilizar as identidades trigonométricas e manipular as expressões até que se chegue ao resultado desejado. Vou demonstrar a resolução da letra (a) como exemplo: a) arctg arctg arctg arctg      1 1 1 1 3 5 7 8 4 Usando a identidade trigonométrica para a tangente da soma de dois ângulos, temos: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Aplicando essa identidade duas vezes, temos: tan(arctg(a) + arctg(b)) = (a + b) / (1 - a * b) tan(arctg(c) + arctg(d)) = (c + d) / (1 - c * d) Substituindo os valores de a, b, c e d, temos: tan(arctg(1) + arctg(1) + arctg(1) + arctg(π)) = (1 + 1 + 1 + π) / (1 - 1 * 1 * 1 * π) tan(arctg(π/4) + arctg(1/7) + arctg(1/3) + arctg(1/5)) = (π/4 + 1/7 + 1/3 + 1/5) / (1 - π/4 * 1/7 * 1/3 * 1/5) Simplificando as frações, temos: tan(arctg(1) + arctg(1) + arctg(1) + arctg(π)) = (π + 3) / (π - 1) tan(arctg(π/4) + arctg(1/7) + arctg(1/3) + arctg(1/5)) = (47π + 60) / (420π - 49) Aplicando a identidade trigonométrica para a tangente da soma de dois ângulos novamente, temos: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Substituindo os valores de x e y, temos: tan(arctg(a) + arctg(b)) + tan(arctg(c) + arctg(d)) = (a + b + c + d) / (1 - a * b * c * d) Substituindo os valores de a, b, c e d, temos: (tan(arctg(1) + arctg(1) + arctg(1) + arctg(π)) + tan(arctg(π/4) + arctg(1/7) + arctg(1/3) + arctg(1/5))) = (π + 3 + 47π/4 + 60/7 + 1/3 + 1/5) / (1 - π/4 * 1/7 * 1/3 * 1/5) Simplificando as frações, temos: (tan(arctg(1) + arctg(1) + arctg(1) + arctg(π)) + tan(arctg(π/4) + arctg(1/7) + arctg(1/3) + arctg(1/5))) = (56π + 1063/420) / (420π - 49/105) Substituindo os valores de tangente para arco tangente, temos: (arctg(π + 3) + arctg((47π + 60) / (420π - 49))) = arctg((56π + 1063/420) / (420π - 49/105)) Portanto, a igualdade a) é verdadeira.