35. Sejam x1, x2, . . . , xn−1, as raízes diferentes de 1 do polinômio P (x ) = x n − 1, n ≥ 2. Prove que 1 1− x1 + 1 1− x2 + . . .+ 1 1− xn−1 = n ...

Para provar que 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn-1) = (n-1)/2, podemos utilizar a fórmula de soma de raízes de um polinômio. Sabemos que as raízes do polinômio P(x) = x^n - 1 são x1, x2, ..., xn-1. Além disso, podemos escrever P(x) como: P(x) = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) Note que o segundo fator é igual a (x^n - 1)/(x-1), exceto quando x = 1. Portanto, podemos escrever: P(x) = (x-1)(x^n - 1)/(x-1) = x^n - 1, para x diferente de 1. Derivando ambos os lados da equação P(x) = x^n - 1, obtemos: nP(x) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1 Substituindo x por 1/(1-y), onde y é uma das raízes de P(x), obtemos: n/(1-y)^(n-1) = (1/(1-y))^(n-1) + (1/(1-y))^(n-2) + ... + 1/(1-y) + 1 Multiplicando ambos os lados por (1-y)^(n-1), temos: n = (1-y)^(n-1) + (1-y)^(n-2) + ... + (1-y) + (1-y)^(0) Note que y = xi, para algum i entre 1 e n-1. Como as raízes de P(x) são diferentes de 1, temos que 1-y é diferente de 0 para todas as raízes y de P(x). Portanto, podemos dividir ambos os lados da equação por (1-y)^(n-1) e obter: n/(1-y) = 1/(1-y)^(n-1) + 1/(1-y)^(n-2) + ... + 1/(1-y) + 1/(1-y)^(n-1) Substituindo y por xi em cada termo da soma, temos: n/(1-x1) + n/(1-x2) + ... + n/(1-xn-1) = 1/(1-x1)^(n-1) + 1/(1-x2)^(n-1) + ... + 1/(1-xn-1)^(n-1) + 1/(1-x1)^(n-1) Note que a soma do lado esquerdo é igual a n vezes a soma que queremos provar. Além disso, a soma do lado direito é igual a (n-1) vezes a soma que queremos provar, pois cada termo da soma aparece n-1 vezes, exceto o último termo, que aparece duas vezes. Portanto, temos: n/(1-x1) + n/(1-x2) + ... + n/(1-xn-1) = (n-1)/(1-x1) + (n-1)/(1-x2) + ... + (n-1)/(1-xn-1) + 1/(1-x1)^(n-1) Subtraindo a soma do lado direito de ambos os lados, obtemos: n/(1-x1) + n/(1-x2) + ... + n/(1-xn-1) - [(n-1)/(1-x1) + (n-1)/(1-x2) + ... + (n-1)/(1-xn-1)] = 1/(1-x1)^(n-1) Simplificando a expressão, temos: n/(1-x1) + n/(1-x2) + ... + n/(1-xn-1) - (n-1)/(1-x1) - (n-1)/(1-x2) - ... - (n-1)/(1-xn-1) = 1/(1-x1)^(n-1) n/(1-x1) - (n-1)/(1-x1) + n/(1-x2) - (n-1)/(1-x2) + ... + n/(1-xn-1) - (n-1)/(1-xn-1) = 1/(1-x1)^(n-1) Simplificando novamente, temos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn-1) = (n-1)/2 Portanto, a soma que queríamos provar é igual a (n-1)/2.