Lista 1_ Polinômios e Equações Algébricas

Prévia do material em texto

Polinômios e Equações Algébricas
Prof. Cícero Thiago
1. Relações envolvendo coeficientes e raízes
Teorema 1. (Girard) Seja P (x ) = an x
n +an−1 x
n−1+
. . .+ a1 x + a0 um polinômio e x1, x2, . . . , xn suas
raízes (reais ou complexas). Então:
x1+ x2+ . . .+ xn =−
an−1
an
,
x1 x2+ x1 x3+ . . .+ xn−1 xn =
an−2
an
x1 x2 x3+ x1 x2 x4+ . . .+ xn−2 xn−1 xn =−
an−3
an
...
x1 x2 . . . xn = (−1)n
a0
an
Exemplo 1. Os comprimentos das alturas do∆AB C
são soluções da equação cúbica
x 3+k x 2+ l x +m = 0.
Determine o raio do círculo inscrito no∆AB C .
(a)
k
m
(b) − l
k
(c) − l
m
(d)
m
k
(e) −m
l
Solução. (C) Temos que
1
r
=
p
S
=
a
2S
+
b
2S
+
c
2S
=
1
ha
+
1
hb
+
1
hc
.
Usando as Relações de Girard, temos:
1
ha
+
1
hb
+
1
hc
=
hb hc +ha hc +ha hb
ha hb hc
=
l
−m =−
l
m
.
Exemplo 2. Seja P (x ) um polinômio cúbico com
raízes r1, r2 e r3. Suponha que
P
�
1
2
�
+P
�
−1
2
�
P (0)
= 1000.
Determine o valor de
1
r1r2
+
1
r2r3
+
1
r1r3
.
Solução. Seja P (x ) = a3 x 3+a2x 2+a1 x+a0. Usando
as relações de Girard, temos que r1+ r2+ r3 =−
a2
a3
e
r1r2r3 =−
a0
a3
. Assim,
1
r1r2
+
1
r2r3
+
1
r1r3
=
r1+ r2+ r3
r1r2r3
=
a2
a0
.
Mas,
P
�
1
2
�
=
a3
8
+
a2
4
+
a1
2
+a0,
e
P
�
−1
2
�
=−a3
8
+
a2
4
− a1
2
+a0.
Portanto, 1000 =
P
�
1
2
�
+P
�
−1
2
�
P (0)
=
a2
2
+ 2a0
a0
=
a2
2a0
+ 2.
Finalmente,
1
r1r2
+
1
r2r3
+
1
r1r3
=
a2
a0
= 2(1000− 2) = 1996.
Dado o polinômio p (x ) = x 3 + B x 2 + C x + D ,
prove que se o quadrado de uma de suas raízes
é igual ao produto das outras duas, então B 3D = C 3.
Solução. Sejam r, s , t as raízes, então 0 polinômio
pode ser escrito da seguinte forma
p (x ) = (x − r )(x − s )(x − t ) =
x 3− (r + s + t )x 2+ (r s + s t + t r )x − r s t .
Igualando os coeficientes, temos:



r + s + t = −B
r s + s t + t r = C
r s t = −D
Como r 2 = s t , temos que
�
C = r s + r 2 + t r = r (r + s + t ) = −r B
−D = r s t = r 3
Finalmente,
C 3 = (−r B )3 =−r 3B 3 = B 3D .
1
2. Raízes complexas, irracionais, racionais e reais
Teorema 2. (Raízes Complexas) Se P (x ) =
an x
n + an−1 x
n−1 + . . . + a1 x + a0 é um polinômio
com coeficientes reais tal que z = a + b i , b 6= 0, é
uma raiz, com a e b reais, b 6= 0, então z = a − b i é
também uma raiz.
Demonstração 1. Se z é uma raiz de P (x ) = an x n +
an−1 x
n−1 + . . .+a1x +a0, então P (z ) = 0. Assim,
P (z ) = an (z )
n +an−1(z )
n−1+ . . .+a1(z ) +a0 =
an z n +an−1z n−1+ . . .+a1z +a0 =
an · z n +an−1 · z n−1+ . . .+a1 · z +a0 =
an z n +an−1z n−1+ . . .+a1z +a0 =
an z n +an−1z n−1+ . . .+a1z +a0 =
P (z ) = 0= 0.
Teorema 3. Se P (x ) = an x n+an−1 x n−1+. . .+a1x+a0
é um polinômio com coeficientes reais tal que z =
a + b i , b 6= 0, com a e b reais, é uma raiz com mul-
tiplicidade p , então z = a − b i é também uma raiz
com multiplicidade p .
Exemplo 3. Sejam a , b , c e d números reais tais
que a equação x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 possui
quatro raízes não reais. O produto de duas dessas
quatro raízes é 13 + i e a soma das outras duas é
3+ 4i , em que i =
p
−1. Determine b .
Solução. Sejam r1, r2, r3 e r4 as raízes. Se r1r2 = 13+i
e r3 + r4 = 3+ 4i . Como o polinômio possui coefi-
cientes reais e nenhuma das raízes são reais, então
r3 = r1 e r4 = r2. Segue que r3r4 = r1r2 = 13 + i e
r1+ r2 = r3+ r4 = 3− 4i . Com isso, o polinômio será
[x 2− (3− 4i )x + (13+ i )][x 2− (3+ 4i )x + (13+ i )]
= x 4− 6x 3+ 51x 2− 70x + 170.
Em particular, b = 51 = (13+ i ) + (3− 4i )(3+ 4i ) +
(13− i ).
Teorema 4. (Raízes Irracionais) Seja ti = bi + ci
p
d
e ti = bi − ci
p
d , em que bi , ci e d são números
racionais e
p
d é irracional. Então,
(a) t1+ t2 = t1+ t2.
(b) t1 · t2 = t1 · t2.
(c) se P (x ) é um polinômio com coeficientes
racionais tais que t1 é uma raiz de P (x ), então t1 é
também uma raiz.
Demonstração 2. (a) Temos que t1 + t2 =
(b1 + c1
p
d ) + (b2 + c2
p
d ) = (b1 + b2) + (c1 + c2)
p
d ,
então t1+ t2 = (b1 + b2) − (c1 + c2)
p
d . Por outro
lado, t1 = b1 − c1
p
d e t2 = b2 − c2
p
d , portanto
t1+ t2 = t1+ t2.
(b) Temos que
t1 · t2 = (b1+ c1
p
d )(b2+ c2
p
d ) =
(b1b2+ c1c2d ) + (b1c2+ b2c1)
p
d =
(b1b2+ c1c2d )− (b1c2+ b2c1)
p
d .
Além disso, t1 · t2 = (b1 − c1
p
d )(b2 − c2
p
d ) =
(b1b2 + c1c2d ) − (b1c2 + b2c1)
p
d . Portanto,
t1 · t2 = t1 · t2.
(c) Seja P (x ) = an x
n+an−1 x
n−1+. . .+a1 x+a0. Apli-
cando (a) e (b), temos que:
P (t1) = an (t1)
n +an−1(t1)
n−1+ . . .+a1(t1) +a0
= an (t1)n +an−1(t1)n−1+ . . .+a1(t1) +a0
= an t
n
1 +an−1t
n−1
1 + . . .+a1t1+a0
= P (t1) = 0= 0,
pois t1 é uma raiz de P (x ).
Exemplo 4. Determine o termo independente de x
do polinômio mônico de grau, 4 com coeficientes
racionais, que possui 2− i e 2+
p
3 como raízes.
Solução. As outras duas raízes são 2 + i e 2 −
p
3,
então o produto das raízes é (2+ i )(2− i )(2+
p
3)(2−p
3) = 5. Dessa forma, o termo independente de x
será (−1)4 vezes o produto das raízes, ou seja, 5.
Teorema 5. (Raízes Racionais) Se P (x ) =
an x
n + an−1 x
n−1 + . . . + a1 x + a0 é um polinômio
com coeficientes inteiros, tal que
p
q
é uma raiz,
com p e q inteiros, q 6= 0 e md c (p , q ) = 1, então
p |a0 e q |an .
Demonstração 3. Se
p
q
é uma raiz de P (x ), então
an ·
�
p
q
�n
+an−1 ·
�
p
q
�n−1
+ . . .+a1 ·
p
q
+a0 = 0⇔
an ·
p n
q n
+an−1 ·
p n−1
q n−1
+ . . .+a1 ·
p
q
+a0 = 0⇔
an p
n +an−1p
n−1q . . .+a1p q
n−1+a0q
n = 0⇔
an p
n =−q [an−1p n−1+ . . .+a1p q n−2+a0q n−1]⇒
2
p |a0
pois mdc(p , q ) = 1.
De maneira análoga, é fácil provar que q |an .
Exemplo 5. Prove que se a , b e c são números
inteiros e as somas
a
b
+
b
c
+
c
a
e
a
c
+
c
b
+
b
a
são
também inteiros, então |a |= |b |= |c |.
Solução. Seja
p =
a
b
+
b
c
+
c
a
e
q =
a
c
+
c
b
+
b
a
.
As raízes de x 3 − p x 2 + q x − 1 = 0 são a
b
,
b
c
e
c
a
. Como os coeficientes são inteiros e as raízes
racionais, os únicos pssíveis valores para as raízes
são ±1. Então |a |= |b |= |c |.
Teorema 6. (Bolzano) Seja P (x ) um polinômio
de grau n > 0 e de coeficientes reais. Considere
também dois números reais quaisquer a e b , que
não sejam raízes de P (x ), com a < b . Se P (a ) e P (b )
possuem sinais contrários, há um número ímpar
de raízes reais entre a e b . Se P (a ) e P (b ) possuem
o mesmo sinal, há um número par de raízes reais
entre a e b .
3. Raízes múltiplas e a derivada de um polinômio
Definição 1. Dizemos que r é uma raiz de multipli-
cidade m ( m ≥ 1) da equação P (x ) = 0 se, e so-
mente se,
P (x ) = (x − r )m ·Q (x ), Q (r ) 6= 0.
Definição 2. Seja P (x ) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . . +
a1 x+a0 um polinômio com an 6= 0 e n > 0. Definire-
mos P ′(x ) = nan x
n−1 + (n − 1)an−1 x n−2 + . . .+ a1,
como sendo o polinômio que é a derivada do
polinômio P (x ). As derivadas dos polinômios P (x )
e Q (x ) satisfazem
(1) P (x ) = k , k constante⇒ P ′(x ) = 0.
(2) (P +Q )′(x ) = P ′(x ) +Q ′(x ).
(3) (P −Q )′(x ) = P ′(x )−Q ′(x ).
(4) (P ·Q )′(x ) = P ′(x )Q (x ) +P (x )Q ′(x ).
Como consequência do teorema da decomposição
é possível provar que se x1, x2, . . ., xn são raízes de
um polinômio de grau n , P (x ), então
P ′(x )
P (x )
=
1
x − x1
+
1
x − x2
+ . . .+
1
x − xn
.
Em seguida, um teorema bem interessante sobre
raízes múltiplas de um polinômio.
Teorema 7. Se r é raiz de multiplicidade m do
polinômio P (x ), então r é raiz de multiplicidade
m − 1 do polinômio P ′(x ).
Demonstração 4. Temos que P (x ) = (x−r )m ·Q (x )⇒
P ′(x ) = m (x − r )m−1Q (x ) + (x − r )mQ ′(x ) =
(x − r )m−1[m · Q (x ) + (x − r ) · Q ′(x )] e, como
m ·Q (r ) + (r − r ) ·Q ′(r ) = m ·Q (r ) 6= 0, ou seja, r é
uma raiz de multiplicidade m − 1 de P ′(x ).
Exemplo 6. Determine um polinômio P (x ), de grau
5, tal que P (x )+1 é divisível por (x −1)3 e P (x )−1 é
divisível por (x + 1)3.
Solução. Se 1 é uma raiz de multiplicidade 3 de
P (x ) então 1 é raiz de multiplicidade 2 do polinômio
P ′(x ). Da mesma forma −1 é uma raiz de multi-
plicidade 2 de P ′(x ). Segue que P ′(x ) é divisível
pelo polinômio (x− 1)2(x + 1)2. Mas, P ′(x ) é um
polinômio de grau 4. Então,
P ′(x ) = c (x − 1)2(x + 1)2 = c (x 4− 2x 2+ 1),
para alguma constante c . Agora, P (x ) =
c ·
�
1
5
x 5− 2
3
x 3+ x
�
+ d , para c e d reais. Como
P (−1) = 1 e P (1) = −1, então c = −15
8
e d = 0 e
P (x ) =−3
8
x 5+
5
4
x 3− 15
8
x .
Vamos ver uma outra solução.
Note que (x − 1)3 divide P (x ) + 1 e P (−x )− 1, então
(x − 1)3 divide P (x ) + P (−x ). Além disso, (x + 1)3
divide P (x ) − 1 e P (−x ) + 1, então (x − 1)3 divide
P (x ) + P (−x ). Dessa forma, (x − 1)3(x + 1)3 divide
P (x ) +P (−x ), que é um polinômio de grau 5, assim
P (x ) + P (−x ) = 0, ∀x . Portanto, os coeficientes
dos termos de grau par de P (x ) são iguais a zero.
Agora, P (x ) + 1 = (x − 1)3(A x 2 + B x − 1). Com isso,
B − 3A = 0 e 3 + 3B − A = 0 , ou seja, A = −3
8
e
B =−9
8
. Finalmente, P (x ) =−3
8
x 5+
5
4
x 3− 15
8
x .
3
Exemplo 7. Determine a para que −1 seja uma raiz
múltipla de P (x ) = x 5−a x 2−a x + 1.
Solução. Temos que P (−1) = −1 − a + a + 1 = 0.
Mas, P ′(−1) = 0⇒ 5+ 2a −a = 0⇔ a =−5.
Exemplo 8. Prove que n x n+1 − (n + 1)x n + 1 é
divisível por (x − 1)2.
Solução. Temos que P (1) = n − (n + 1) + 1 = 0 e
P ′(1) = n (n+1)− (n+1)n = 0. Portanto, 1 é raiz com
multiplicidade 2.
4. Diferenças finitas
Definição 3. Seja P (x ) um polinômio de grau m .
Defina ∆k+1P (n ) = ∆k P (n + 1) −∆k P (n ), ∀k ≥ 1,
com∆1P (n ) = P (n + 1)−P (n ).
Teorema 8. Seja P (x ) um polinômio de grau m ,
em que m > 0. Então ∆m P (n ) é uma constante
diferente de zero.
Demonstração 5. Seja P (x ) = am x
m + am−1 x
m−1 +
. . .+a1 x +a0 um polinômio qualquer. Então
∆P (n ) = P (n + 1)−P (n ) =
am (n + 1)
m +am−1(n + 1)
m−1+ . . .+a1(n + 1) +a0−
(am n
m +am−1n
m−1+ . . .+a1n +a0).
É fácil ver que o grau de∆P (n ) é m − 1 e seu termo
de maior grau é am
�
m
1
�
n m−1, pois am 6= 0.
Dessa forma, para k ≤ m , o grau de ∆k P (n ) é
m −k . Portanto, quando k =m o grau de∆m P (n ) é
0, assim∆m P (n ) é uma constante diferente de zero.
Exemplo 9. Determine todos os polinômios P (x )
tais que P (x + 1)−P (x ) = 2x + 1, ∀x .
Solução. Temos que ∆P (n ) = 2n + 1, assim
∆
2P (n ) =∆P (n+1)−∆P (n ) = 2(n+1)+1−(2n+1) =
2. Como∆2P (n ) é constante e diferente de zero en-
tão P (x ) tem grau 2, ou seja, P (x ) = a x 2 + b x + c ,
assim
a (x + 1)2+ b (x + 1) + c −a x 2− b x − c = 2x + 1⇔
2a x +a + b = 2x + 1,∀x .
Dessa forma, 2a = 2 e a + b = 1. Portanto, a = 1 e
b = 0 e P (x ) = x 2+ c , para alguma constante c .
Exemplo 10. Sejam x1, x2, . . . , x7 números reais tais
que
x1+ 4x2+ 9x3+ 16x4+ 25x5+ 36x6+ 49x7 = 1,
4x1+ 9x2+ 16x3+ 25x4 + 36x5+ 49x6+ 64x7 = 12,
9x1+ 16x2+ 25x3+ 36x4 + 49x5+ 64x6+ 81x7 = 123.
Determine o valor de 16x1 + 25x2 + 36x3 + 49x4 +
64x5 + 81x6+ 100x7.
Solução. Defina P (n ) = (n +1)2 x1+(n +2)
2 x2+(n +
3)2 x3+. . .+(n+7)2 x7. Temos que P (0) = 1, P (1) = 12,
P (2) = 123 e que P (n ) é um polinômio quadrático.
Desejamos calcular o valor de P (3). Assim
∆P (0) = P (1)−P (0) = 11,
∆P (1) = P (2)−P (1) = 111,
∆
2P (0) =∆P (1)−∆P (0) = 100.
Dessa forma, ∆2P (n ) = 100, ∀n . Assim, ∆2P (1) =
∆P (2)−∆P (1)⇔ 100=∆P (2)−111⇔∆P (2) = 211.
Mas, ∆P (2) = P (3) − P (2)⇔ 211 = P (3) − 123 ⇔
P (3) = 334.
4
5. Transformações
Definição 4. Uma transformação de uma equação
algébrica P (x ) = 0 é obter uma nova equação al-
gébrica Q (y ) = 0 de tal forma que as raízes da
nova equação estejam relacionadas com as raízes
da equação original através de uma relação y =
f (x ).
Exemplo 11. Ache um polinômio cujas raízes são
os inversos das raízes de x 4− 3x 2+ x − 9.
Solução. Sejam r1, r2, r3 e r4 as raízes de f (x ) = x
4−
3x 2 + x − 9 = 0. Uma equação cujas raízes são os
inversos de r1, r2, r3 e r4 é f
�
1
x
�
= 0 pois
f
�
1
1
ri
�
= f (ri ) = 0.
Infelizmente, f
�
1
x
�
não é um polinômio. Por outro
lado, a função g (x ) = x 4 f
�
1
x
�
tem raízes
1
ri
e é um
polinômio. Portanto o nosso polinômio será
g (x ) = x 4
�
1
x 4
− 3
x 2
+
1
x
− 9
�
=−9x 4+ x 3− 3x 2+ 1.
Vamos provar que isso é verdade de uma maneira
geral. Seja P (x ) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . .+ a1x + a0
um polinômio cujas raízes são r1, r2, . . . , rn . As raízes
de P
�
1
x
�
= 0 são
1
r1
,
1
r2
, . . . ,
1
rn
pois
P
�
1
1
ri
�
= P (ri ) = 0.
De tal forma que as raízes de P
�
1
x
�
= 0 são os in-
versos das raízes de P (x ) = 0. O polinômio desejado
será
g (x ) = x n P
�
1
x
�
=
x n
� an
x n
+
an−1
x n−1
+ . . .+
a1
x
+a0
�
=
a0x
n +a1x
n−1+ . . .+an ,
que é o polinômio original com os coeficientes em
ordem contrária.
Exemplo 12. Determine um polinômio cujas raízes
são o dobro das raízes de P (x ) = x 4− 3x 2+ x − 9.
Solução. De uma maneira geral um polinômio
P (x ) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . .+ ax + a0, com raízes
k vezes as raízes de P (x ) é P
� x
k
�
, ou seja, se as
raízes de P (x ) são r1, r2, . . . , rn , então para x =
k x1, k x2, . . . , k xn , temos que P
� x
k
�
= P (ri ) = 0.
Dessa forma o polinômio desejado será
P
� x
k
�
=
an x
n
k n
+
an−1 x
n−1
k n−1
+ . . .+
a1
k
+a0.
Multiplicando por k n , obtemos
g (x ) = k n P
� x
k
�
=
an x
n +k an−1x
n−1 + . . .+n n−1a1 x +k
n ,a0
um polinômio cujs raízes são k ri . Portanto, a re-
sposta do nosso problema será
g (x ) = x 4− (22)(3)x 2+ (23)x − (24)(9) =
x 4− 12x 2 + 8x − 144.
Exemplo 13. Determine um polinômio cujas
raízes são 3 unidades a mais que as raízes de
P (x ) = x 4− 3x 3− 3x 2+ 4x − 6.
Solução. Sejam r1, r2, r3 e r4 as raízes de P (x ). Con-
sidere o polinômio G (x ) = P (x − 3). Temos que
G (ri + 3) = P (ri + 3− 3) = P (ri ) = 0,
ou seja, as raízes de G (x ) são 3 unidades a mais que
as raízes de P (x ). Com isso, G (x ), é o polinômio
procurado
G (x ) = P (x − 3) =
(x − 3)4− 3(x − 3)3− 3(x − 3)2+ 4(x − 3)− 6=
x 4− 15x 3 + 78x 2− 167x + 117.
6. Somas de Newton
Teorema 9. (Newton) Seja P (x ) = an x
n +
an−1 x
n−1 + . . . + a1 x + a0 um polinômio e
sejam r1, r2, . . ., rn as raízes do polinômio.
Seja Sk = r
k
1 + r
k
2 + . . . + r
k
n
, k ≥ n . Então,
anSk + an−1Sk−1 + . . . + a0Sk−n = 0. Em particular,
quando k = n , temos anSn+an−1Sn−1+ . . .+na0 = 0.
5
Demonstração 6. Como r1, r2, . . ., rn são as raízes de
P (x ) então
P (ri ) = an r
n
i
+an−1r
n−1
i
+ . . .+a1ri +a0 = 0,
i = 1, 2, . . . , n .
Multiplicando cada uma das equações por r k−n
i
en-
contramos
an r
k
1 +an−1r
k−1
1 + . . .+a0r
k−n
1 = 0
an r
k
2 +an−1r
k−1
2 + . . .+a0r
k−n
2 = 0
...
an r
k
n
+an−1r
k−1
n
+ . . .+a0r
k−n
n
= 0
Somando todas as equações encontramos
an (r
k
1 + . . .+ r
k
n
) +an−1(r
k−1
1 + . . .+ r
k−1
n
) + . . .+
a0(r
k−n
1 + . . .+ r
k−n
n
) = 0⇔
anSk +an−1Sk−1 + . . .+a0Sk−n = 0.
Em particular, quando k = n , Sk−n = S0 = r 01 + r
0
2 +
. . .+ r 0
n
= n , assim anSn +an−1Sn−1+ . . .+na0 = 0.
Exemplo 14. Sejam r1, r2, . . . , r1000 as raízes
de x 1000 − 10x + 10 = 0. Determine o valor de
r 10001 + r
1000
2 + . . .+ r
1000
1000 .
Solução. Temos que a1000, a1 e a0 são os únicos
coeficientes diferentes de 0. Então, pelo teorema
de Newton, S1000 − 10S1 + 1000 · 10 = 0. Como
o coeficiente de x 999 é zero temos que S1 = 0 e
S1000 =−10000.
7. Equações recíprocas
Definição 5. Uma equação algébrica de grau n > 0
é chamada de equação recíproca se, e somente se,
for satisfeita a condição
r é raiz da equação⇒ 1
r
é raiz da equação, com a
mesma multiplicidade.
8. Polinômios emZ [x ]
Dizemos que P (x ) ∈ Z[x ] se P (x ) = an x n +
an−1 x
n−1 + . . .+ a1 x + a0, com an , an−1, . . ., a1 e a0
inteiros.
Teorema 10. Sejam a e b números inteiros distintos
e P (x ) um polinômio com coeficientes inteiros,
então a − b |P (a )−P (b ).
Demonstração 7. Seja P (x ) = an x
n+an−1 x
n−1+. . .+
a1 x +a0com an , an−1, . . ., a1 e a0 inteiros. Então,
P (a )−P (b ) = (an a n +an−1a n−1+ . . .+a1a +a0)−
(an b
n +an−1b
n−1+ . . .+a1b +a0)
=
n
∑
i=0
ai (a
i − b i )
n
∑
i=0
ai (a − b )(a i−1+ . . .+ b i−1)
= (a−b )
�
n
∑
i=0
ai (a
i−1+ . . .+ b i−1)
�
= (a−b )·k , k ∈Z.
Portanto,a − b |P (a )−P (b ).
Exemplo 15. Seja P (x ) um polinômio com coefi-
cientes inteiros tal que P (21) = 17, P (32) = −247 e
P (37) = 33. Prove que se P (N ) =N + 51 para algum
inteiro N , então N = 26.
Solução. Usando o teorema 10 temos
N−21|N+34⇒N−21|N+34−(N−21)⇒N−21|55 (1)
N−32|N+298⇒N−32|N+298−(N−32)⇒N−32|330 (2)
N−37|N+18⇒N−37|N+18−(N−37)⇒N−37|55 (3)
De (1) temos que N − 21 = ±1, ±5, ±11 ou ±55. Os
possíveis valores de N são: 22, 20, 26, 16, 32, 10, 76
e −34. O único destes valores de N que não con-
tradiz 2 e 3 é N = 26.
Exercícios propostos
1. As raízes da equação x 3 + k x 2− 54x + 216 = 0
formam uma progressão geométrica. Deter-
mine o valor de k .
2. Se P (x ) é um polinômio com coeficientes
racionais e 0, 1,
p
2 e 1 −
p
3 são raízes. De-
termine o menor valor possível para o grau de
P (x ).
3. As raízes de f (x ) = 3x 3 − 14x 2 + x + 62 = 0 são
a , b e c . Determine o valor de
1
a + 3
+
1
b + 3
+
1
c + 3
.
6
4. Determine um polinômio com coeficientes
racionais que tem 2−
p
3 e 3+2
p
5 como raízes.
5. Prove que
p
2+
p
3 é irracional.
6. Prove que 3
p
5+ 3
p
25 é irracional.
7. Seja P (x ) um polinômio com coeficientes
racionais. Se P (4+ 3
p
7) = 0, então P (4− 3
p
7) = 0?
8. Prove que todo polinômio, com coeficientes
reais, pode ser fatorado como produto de
polinômios lineares e (ou) quadráticos com
coeficientes reais.
9. Seja z = a+b i uma raiz da equação polinomial
c4z
4+ i c3z
3+ cc z
2+ i c1z + c0 = 0,
em que c0, c1, c2, c3, c4, a e b são números reais.
Prove que −a + b i é também uma raiz.
10. Determine um polinômio de grau mínimo,
com coeficientes reais, tal que P (i ) = 2 e
P (1+ i ) = 0.
11. Seja f (x ) = x 4 + 6x 3 + a x 2 − 54x + c um
polinômio cujas raízes são r1, r2, r3 e r4. Se
r1+ r2 = 0 e r4− r3 = 4, determine os valores de
a e c .
12. Sejam a e b números reais tais que uma
das raízes de x 3 + a x 2 − 4x + b = 0 é 1 + i .
Determine as outras duas.
13. Determine os dois possíveis valores de k para
os quais 2x 3 − 9x 2+ 12x −k possui raiz dupla.
14. Sejam a , b , c ∈R as raízes de x 3+3x 2−24x+1=
0. Prove que 3
p
a +
3p
b + 3
p
c = 0.
15. Determine o polinômio de grau mínimo, com
coeficientes racionais e coeficiente líder 1, tal
que P ( 3
p
49+ 3
p
7) = 4.
16. Determine todas as raízes do polinômio
i y 3− 8y 2− 22i y + 21.
17. Sejam r1, r2, r3 as raízes da equação polinomial
x 3− x − 1= 0.
Determine o valor de
r1(r2− r3)2+ r2(r3− r1)2+ r3(r1− r2)2.
18. Determine (r + s )(s + t )(t + r ), se r , s e t são as
três raízes reais de x 3+ 9x 2− 9x − 8.
19. A partir de uma sequência de números
reais A = {a1, a2, a3, . . .}, defina ∆A
como a sequência de números reais
{a2 − a1, a3 − a2, a4 − a3, . . .}, em que o n
- ésimo termo é an+1 − an . Se todos os termos
da sequência ∆(∆A) são iguais a 1, e que
a19 = a92 = 0, determine a1.
20. Sejam a , b e c as raízes da equação
x 3 + 3x 2 + 4x − 11= 0 e sejam (a + b ), (b + c ) e
(c+a ) as raízes da equação x 3+r x 2+s x+t = 0.
Determine o valor de t .
21. Seja r a maior raiz da equação x 2 + x − 1 = 0.
Determine o valor de r 10+ 55r .
22. Sejam α,β e γ as raízes da equação x 3− x −1=
0. Determine o valor de
1+α
1−α +
1+β
1−β +
1+γ
1−γ .
23. Sejam α1 e α2 as raízes da equação quadrática
x 2 − 5x − 2 = 0 e sejam β1, β2 e β3 as raízes da
equação cúbica x 3 − 3x − 1 = 0. Determine o
valor de (α1+β1)(α1+β2)(α1+β3)(α2+β1)(α2+
β2)(α2+β3).
24. Considere todas as retas que intersectam o grá-
fico de y = 2x 4+7x 3+3x −5 em quatro pontos
distintos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) e (x4, y4). Prove
que
x1+ x2+ x3+ x4
4
independe da reta e determine seu valor.
7
25. Determine a soma de todas as raízes reais do
polinômio f (x ) = x 6+ x 4− 115x 3+ x 2+ 1.
26. O polinômio f satisfaz f (6+ x ) = f (6− x ) para
todo x real. Se f (x ) = 0 possui exatamente
quatro raízes reais distintas. Qual a soma
dessas raízes?
27. Se a , b , c e d são as raízes da equação x 4−b x−
3= 0, determine a equação cujas raízes são
a + b + c
d 2
,
a + b +d
c 2
,
a + c +d
b 2
,
b + c +d
a 2
.
28. Seja a e b números reais. Prove que se a
equação
x 4− 4x 3+ 4x 2+a x + b = 0
possui duas raízes reais distintas tais que a
soma é igual ao produto, então a equação
não possui outras raízes reais e, além disso,
a + b > 0.
29. Ache as raízes r1, r2, r3 e r4 da equação 4x
4 −
a x 3 + b x 2 − c x + 5 = 0, sabendo que as raízes
são reais positivas, a , b , c são reais e que
r1
2
+
r2
4
+
r3
5
+
r4
8
= 1.
30. Sejam a , b , c , d números reais distintos tais
que
a =
Æ
4+
p
5+a ,
b =
q
4−
p
5+ b ,
c =
Æ
4+
p
5− c ,
d =
q
4−
p
5−d .
Determine a b c d .
31. Determine todos os números reais s tais que
4x 4 − 20x 3+ s x 2+ 22x − 2= 0
possui quatro raízes reais e distintas tais que o
produto de duas dessas raízes seja −2.
32. Considere os polinômios P (x ) = x 6− x 5− x 3−
x 2 − x e Q (x ) = x 4 − x 3 − x 2 − 1. Dado que
z1, z2, z3 e z4 são as raízes de Q (x ) = 0, ache
P (z1) +P (z2) +P (z3) +P (z4).
33. O produto de duas das quatro raízes da
equação
x 4− 18x 3+k x 2+ 200x − 1984= 0
é −32. Determine o valor de k .
34. Prove que o polinômio P (x ) = 1 +
x
1
+
x 2
2!
+
. . .+
x n
n !
não possui raízes múltiplas.
35. Sejam x1, x2, . . . , xn−1, as raízes diferentes de 1
do polinômio P (x ) = x n − 1, n ≥ 2. Prove que
1
1− x1
+
1
1− x2
+ . . .+
1
1− xn−1
=
n − 1
2
.
36. Sejam x1, x2, . . ., xn as raízes do polinômio x
n+
x n−1 + . . .+ x + 1. Prove que
1
1− x1
+
1
1− x2
+ . . .+
1
1− xn
=
n
2
.
37. Sejam r, s , t as raízes da equação
x (x − 2)(3x − 7) = 2.
(a) Prove que r, s , t são números reais posi-
tivos.
(b) Determine o valor de arctgr + arctgs +
arctgt .
38. Considere todos os subconjuntos não vazios
do conjunto {1, 2, . . . , n}, dos n primeiros
números naturais. Para cada um desses
subconjuntos calculamos o produto de seus
elementos. Encontre a soma de todos os
produtos obtidos. (Obs: Se um subconjunto
tem um único elemento, esse elemento é o
produto).
39. Sejam a , b , c e d as raízes (nos complexos)
do polinômio x 4 + 6x 2 + 4x + 2. Encontre um
polinômio p (x ), do quarto grau, que tenha
como raízes a 2, b 2, c 2 e d 2.
8
40. (a) Prove que não existe inteiro positivo ou
racional positivo tal que t 5−10t 4−20t 2−2= 0.
(Lembrete: Se p e q são primos entre si e q
divide p n , então q divide p ).
(b) Se x , y e z são inteiros positivos e termos
de uma progressão aritmética, mostre que a
igualdade x 5+ y 5 = z 5 nunca é satisfeita.
41. Se p e q são números complexos, com q 6= 0 e
se as raízes da equação x 2 + p x + q = 0 têm o
mesmo módulo, prove que |p | ≤ 2|q |.
42. Seja α 6= 1 raiz de x 7 − 1 = 0. Obter um
polinômio com coeficientes inteiros que tenha
a = R e (α) como raiz. (Notação: α = R e (α) + i ·
I m (α).)
43. Sejam r, s , t as três raízes da equação
8x 3+ 1001x + 2008= 0.
Determine o valor de (r + s )3+(s + t )3+(t + r )3.
44. Seja P o produto das raízes de z 6 + z 4 + z 3 +
z 2 + 1 que possuem parte imaginária positiva,
e suponha que P = r (cosθ ◦+i · senθ ◦), em que
0< r e 0◦ ≤ θ < 360◦. Determine θ .
45. Briot (matemático inglês-1817/1882) e Ruffini
(matemático italiano-1765/1822) desen-
volveram métodos para achar soluções para as
equações chamadas recíprocas. Para melhor
entender, veja a definição:
Seja a equação racional inteira a0 x
n+a1x
n−1+
. . . + an = 0, ordenada segundo as potências
decrescentes de x com a0, a1, . . . , an números
reais sendo a0 6= 0 e n inteiro positivo.
Diz-se que esta equação é recíproca se, e
somente se, os termos equidistantes dos ex-
tremos forem iguais ou simétricos (opostos).
Sendo iguais, teremos uma equação recíproca
de 1a espécie e, sendo simétricos (opostos),
teremos uma equação recíproca de 2a espécie.
(a) Se y = x +
1
x
calcule, em função de y , as
expressões x 2+
1
x 2
e x 3+
1
x 3
.
(b) Determine todas as raízes reais da equação
abaixo: x 2− 5x + 8− 5
x
+
1
x 2
= 0.
(c) Determine todas as raízes reais de
x 6− 2x 5− 5x 4+ 12x 3− 5x 2− 2x + 1= 0.
46. Determine a soma de todas as raízes,reais e
não reais, da equação x 2001+
�
1
2
− x
�2001
, dado
que não existem raízes múltiplas.
47. Seja P o produto das raízes não reais da
equação x 4−4x 3+6x 2−4x = 2005. Determine
P .
48. Determine a e b de modo que a equação
x 4− 6x 2+a x + b = 0 admita uma raiz tripla.
49. Seja P um polinômio mônico com coeficientes
inteiros. Seja x um real tal que:
(i) P (x ) = 0
(ii) P (⌊x ⌋+ ⌈x ⌉) = 2P (1) +P (0) + 1.
Prove que x é irracional.
Respostas
1. −9 2. 6 3. 83
74
4. x 4− 10x 3+ 14x 2+ 38x − 11 10.
2
5
(2x 3 − 3x 2+ 2x + 2) 11. a = − e c = −45 12. 1− i
e −3 13. 4 e 5 14. x 3 − 21x − 52 15. −3i ,
p
3− 5i
2
e
−
p
3− 5i
2
16. −9 17. 73 18. 819 19. 23 20. 34 21.
−7 22. 289 23. −7
8
24. 5 25. 24 26. 3y 4−b y 3−1 29.
r1 =
1
2
, r2 = 1, r3 =
5
4
e r4 = 2 30. 11 31. 17 32. 6 33.
86 37. (b)
3π
4
38. (n +1)!−1 39. x 4+12x 3+40x 2+
8x + 4 42. Q (x ) = 64x 7 − 112x 5 + 56x 3 − 7x − 1 43.
753 44. 276◦ 45. (a) y 2 − 2 e y 3 − 3y (b) 1 e 3±
p
5
2
(c) 1 e ±
p
2± 1 46. 500 47. 1+
p
2006 48. a = 8 e
b =−3
9