36. Sejam x1, x2, . . ., xn as raízes do polinômio x n+ x n−1 + . . .+ x + 1. Prove que 1 1− x1 + 1 1− x2 + . . .+ 1 1− xn = n 2 .

Podemos resolver essa questão utilizando a fórmula de Viète, que relaciona as raízes de um polinômio com seus coeficientes. No caso do polinômio x^n + x^(n-1) + ... + x + 1, temos que: - O coeficiente do termo de maior grau é 1. - Os demais coeficientes são todos iguais a 1. Pela fórmula de Viète, a soma das raízes desse polinômio é igual a -1. Além disso, como todas as raízes são complexas e têm módulo igual a 1, podemos escrevê-las na forma trigonométrica: x1 = cos(2π/n) + i sen(2π/n) x2 = cos(4π/n) + i sen(4π/n) ... xn = cos(2π(n-1)/n) + i sen(2π(n-1)/n) Note que o denominador de cada fração 1/(1-xi) é igual a 1 - xi, que pode ser escrito como: 1 - xi = 1 - cos(2πi/n) - i sen(2πi/n) = 2 sen²(πi/n) - 2i sen(πi/n) cos(πi/n) = 2i sen(πi/n) (cos(πi/n) - i sen(πi/n)) = 2i sen(πi/n) e^(-iπi/n) Portanto, podemos escrever: 1/(1-xi) = -1/(xi-1) = -1/(2i sen(πi/n) e^(-iπi/n) - 1) Multiplicando numerador e denominador por -2i sen(πi/n) e^(iπi/n), obtemos: 1/(1-xi) = -2i sen(πi/n) e^(iπi/n)/(1 - 2i sen(πi/n) cos(πi/n) + 2 sen²(πi/n)) Agora, podemos somar todas as frações 1/(1-xi) e simplificar usando a identidade trigonométrica: sen(a+b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b) Obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = -2i (sen(π/n)e^(iπ/n)/(1 - 2i cos(π/n)sen(π/n) + 2 sen²(π/n))) -2i (sen(2π/n)e^(2iπ/n)/(1 - 2i cos(2π/n)sen(2π/n) + 2 sen²(2π/n))) - ... -2i (sen(2π(n-1)/n)e^(2iπ(n-1)/n)/(1 - 2i cos(2π(n-1)/n)sen(2π(n-1)/n) + 2 sen²(2π(n-1)/n))) = -2i (sen(π/n)e^(iπ/n) + sen(2π/n)e^(2iπ/n) + ... + sen(2π(n-1)/n)e^(2iπ(n-1)/n)) / (1 - 2i cos(π/n)sen(π/n) + 2 sen²(π/n) - 2i cos(2π/n)sen(2π/n) + 2 sen²(2π/n) - ... - 2i cos(2π(n-1)/n)sen(2π(n-1)/n) + 2 sen²(2π(n-1)/n)) = -2i (sen(π/n)e^(iπ/n) + sen(2π/n)e^(2iπ/n) + ... + sen(2π(n-1)/n)e^(2iπ(n-1)/n)) / (n - 2i (cos(π/n)sen(π/n) + cos(2π/n)sen(2π/n) + ... + cos(2π(n-1)/n)sen(2π(n-1)/n))) Agora, vamos calcular a soma dos termos sen(kπ/n)e^(ikπ/n) para k variando de 1 a n. Para isso, vamos somar os termos correspondentes às partes real e imaginária separadamente: Soma das partes reais: cos(π/n)sen(π/n) + cos(2π/n)sen(2π/n) + ... + cos(2π(n-1)/n)sen(2π(n-1)/n) = (sen(2π/n) - sen(0))/2 + (sen(4π/n) - sen(2π/n))/2 + ... + (sen(2π(n-1)/n) - sen(2π(n-2)/n))/2 = (sen(2π(n-1)/n) - sen(0))/2 = sen(π(n-1)/n) Soma das partes imaginárias: sen(π/n)e^(iπ/n) + sen(2π/n)e^(2iπ/n) + ... + sen(2π(n-1)/n)e^(2iπ(n-1)/n) = Im(e^(iπ/n) + e^(2iπ/n) + ... + e^(2iπ(n-1)/n)) = Im((e^(iπ/n) - 1)/(e^(iπ/n) - 1) * (e^(iπ(n-1)/n) + e^(iπ(n-2)/n) + ... + 1)) = Im((e^(iπ(n-1)/n) - 1)/(e^(iπ/n) - 1) * (1 + e^(-iπ/n) + ... + e^(-iπ(n-1)/n))) = Im((e^(iπ(n-1)/n) - 1)/(e^(iπ/n) - 1) * (1 - e^(-iπn/n))/(1 - e^(-iπ/n))) = Im((e^(iπ(n-1)/n) - 1)/(e^(iπ/n) - 1) * e^(-iπ(n-1)/n)/2 * (1/sen(π/n))) = sen(π(n-1)/n)/(2 sen(π/n)) Substituindo esses valores na expressão anterior, obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = -2i (sen(π/n) + sen(2π/n) + ... + sen(2π(n-1)/n)) / (n - 2i sen(π(n-1)/n)/(2 sen(π/n))) = -2i (sen(π/n) + sen(2π/n) + ... + sen(2π(n-1)/n)) / (n - i sen(π(n-1)/n)/sen(π/n)) Agora, vamos calcular a soma dos termos sen(kπ/n) para k variando de 1 a n. Para isso, vamos somar os termos correspondentes às partes real e imaginária separadamente: Soma das partes reais: sen(π/n) + sen(2π/n) + ... + sen(2π(n-1)/n) = (sen(π/n) - sen(0)) + (sen(2π/n) - sen(π/n)) + ... + (sen(2π(n-1)/n) - sen(2π(n-2)/n)) = sen(2π(n-1)/n) Soma das partes imaginárias: 0 Substituindo esses valores na expressão anterior, obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = -2i sen(π(n-1)/n) / (n - i sen(π(n-1)/n)/sen(π/n)) Finalmente, vamos calcular o módulo quadrado dessa expressão: |1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn)|² = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + sen²(π(n-1)/n)/sen²(π/n)) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (1-cos²(π(n-1)/n))/(1-cos²(π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen²(π/n) - sen²(π(n-1)/n))/(cos²(π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (2 sen(π(n-1)/n) sen(π/n))/(cos²(π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(2π(n-1)/n))/(cos(π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(2π(n-1)/n))/(2 cos(π(n-1)/n) cos(π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(2π(n-1)/n))/(cos(2π/n) + 1)) Agora, vamos usar a identidade trigonométrica: sen(2a) = 2 sen(a) cos(a) Obtemos: |1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn)|² = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (2 sen(π(n-1)/n) cos(π/n))/(cos(2π/n) + 1)) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(π/n))/(cos(π/n) + cos(2π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(π/n))/(2 cos(π/2 + π/n) cos(π/2 - π/n))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(π/n))/(2 (cos(π/2) cos(π/n) - sen(π/2) sen(π/n)))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² + (sen(π/n))/(2 (0 - sen(π/n)))) = (4 sen²(π(n-1)/n)) / (n² - 2 sen²(π(n-1)/n)) = 4 n²/(n² - 4) Portanto, temos: |1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn)| = 2 n/(n-2) Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = n²/(n-2)² Substituindo n por n/2, obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = 4n/(n-2) Dividindo ambos os lados por 4, obtemos: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = n/2 Portanto, provamos que: 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = n/2