9. Prove que 3/√(p2+p5) + 3/√(p2−p5) é um número racional.

Para provar que 3/√(p²+p⁵) + 3/√(p²-p⁵) é um número racional, podemos utilizar o fato de que a soma e o produto de números racionais são racionais. Primeiro, vamos racionalizar o denominador de cada fração: 3/√(p²+p⁵) = 3√(p²+p⁵)/[(p²+p⁵)] 3/√(p²-p⁵) = 3√(p²-p⁵)/[(p²-p⁵)] Agora, podemos somar as duas frações: 3√(p²+p⁵)/[(p²+p⁵)] + 3√(p²-p⁵)/[(p²-p⁵)] = [3√(p²+p⁵)(p²-p⁵) + 3√(p²-p⁵)(p²+p⁵)]/[(p²+p⁵)(p²-p⁵)] = [3(p⁴-p³p²+p²p⁴) + 3(p⁴+p³p²+p²p⁴)]/[(p²+p⁵)(p²-p⁵)] = [6p⁴]/[(p²+p⁵)(p²-p⁵)] = 6p⁴/[(p²)² - (p⁵)²] Observe que o denominador é um número racional, pois é a diferença de dois quadrados. Portanto, a expressão 3/√(p²+p⁵) + 3/√(p²-p⁵) é um número racional.